Нестационарный простейший поток

Если для потока x (t) выполняется свойство отсутствия последействия, но его интенсивность меняется, λ= λ(t), то

при этом   , так что время ожидания очередного вызова зависит и от закона изменения λ(s), и от текущего времени t.

Системы массового обслуживания с отказами

  Имеется n -канальная СМО с отказами. Она моделируется как случайная цепь X с (n +1) состояниями: событие { X = k } означает, что в системе занято ровно k каналов. Допущения:

1. Поток заявок – простейший с интенсивностью λ.
2. Время обслуживания T подчиняется экспоненциальному закону с параметром μ; среднее время обслуживания MT =1/μ.

Поток заявок – простейший с интенсивностью λ, поток освобождений – марковский, но его интенсивность зависит от того, сколько каналов занято: если занято k каналов, то интенсивность освобождений равна k μ. Это значит, что сама СМО является марковской.

   Для формирования матрицы Λ нужно следить только за внедиагональными элементами, элемент на диагонали равен сумме внедиагональных элементов строки со знаком «минус».

  Пусть, например, n = 3, тогда

Из системы  находим матрицу переходных вероятностей

а затем для любого момента t - вектор p (t) = П(t) p (0). Вектор финальных вероятностей  ищется из системы  

   Замечание. Большинство учебников и справочников избегает использования матричной экспоненты и предпочитает более громоздкую технику составления системы дифференциальных уравнений для p (t).