Оценивание порядка модели

Определение для временного ряда { x (k)} адекватного порядка p,q модели ARMA (p, q) подчиняется тем же закономерностям, что и любой другой процесс моделирования. Для временных рядов обычно не удается разделить данные на обучающую и контрольную части, поэтому основной подход состоит в том, чтобы объяснить имеющуюся структуру данных с минимальным участием случайной составляющей. Таким образом, для различных выборов параметров порядка p,q предпочтение отдается тому варианту, который обеспечивает минимум оцененной дисперсии случайной составляющей:

Этот подход называют критерием ФОП – финальной ошибки прогнозирования. Минимизация ФОП может приводить к моделям достаточно высокого порядка, так что в критерий желательно ввести штраф за используемое число параметров. На этом пути японский математик Акаике сформулировал общий критерий ИКА - информационный критерий Акаике. Он получен на основе достаточно глубокого анализа энтропийных свойств метода максимального правдоподобия, однако для моделей ARMA (p, q) имеет крайне простой вид:

ИКА = (9.6)

Контрольные вопросы

1. Прямые и обратные уравнения Юла-Уокера для моделей AR, MA, ARMA

2. Оценивание коэффициентов по МНК

3. Оценивание коэффициентов по уравнениям Юла-Уокера

4. Оценивание в замкнутом контуре

5. Критерии ФОП и Акаике

Задания на лабораторную работу № 9

1. Сформировать выборку из стационарного процесса Юла

2. Интерпретировать ее как выходной сигнал системы, на вход которой подан гауссов белый шум.

3. Оценить параметры модели 3 различными способами

4. Оценить СПМ процессов на входе и выходе в параметрической и в непараметрической форме

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

Прогнозирование временного ряда всегда основывается на некоторой модели и должен опираться на понимание физики процесса.

Если у ряда { x (k)} имеется физически объяснимый тренд, то первичный прогноз делается по нему. Полиномиальный тренд использовать опасно: он может явно присутствовать на конечном отрезке ряда, но не иметь отношения к экстраполяции за его пределы. Например, так может проявиться синусоида с большим периодом. В таких случаях рекомендуют перейти от исходного ряда к ряду его конечных разностей. Если у ряда { x (k)} на отрезке выявлен тренд в виде полинома порядка r, то его конечные разности порядка (r- 1) будут содержать только линейный тренд, который уже может служить основой для прогноза.

Горизонт прогноза

Для различных моделей временных рядов с удаленным трендом можно определить так называемый горизонт прогноза. Белый шум имеет горизонт прогноза, равный нулю.

Ряд, который можно описать как сумму нескольких синусоид на фоне аддитивного шума, имеет бесконечный горизонт прогноза. На этом этапе прогноз осуществляется по обнаруженной системе синусоид, его точность определяется дисперсией шумовой составляющей. Часть обнаруженных периодических составляющих может оказаться ложной: в любом случайном шуме могут идентифицироваться эфемерные периодичности. Для их устранения интервал наблюдения разбивается на части и выделяются только те синусоиды, которые устойчиво фиксируются во всех частях. Это – стандартная составляющая любых процедур спектрального анализа. Однако если в ряде присутствует синусоида с частотой f ₀, то в его спектре, скорее всего, обнаружатся пики на кратных частотах 2 f ₀, 4 f ₀и т.д. Классическим в экономике является пример 20-х годов XX века с исследованием динамики цен на пшеницу. В этом ряде было обнаружено 17 периодических составляющих, а на поверку оказалось, что его следует описывать как выход нелинейной системы, инициируемой одной-единственной периодической функцией.

После того, как рассмотренные компоненты ряда идентифицированы и удалены, наступает этап анализа ряда остатков, который рассматривают как процесс с конечным горизонтом прогноза. К сожалению, структура остатков сильно зависит от методов, использованных на более ранних этапах. Например, для простейшей модели сигнала в виде синусоиды, наблюдаемой на фоне аддитивного белого шума, остаток будет представлять собой коррелированный ряд, причем его структура будет зависеть от того, каким методом оценивалась и удалялась эта синусоида.

Во всех этих случаях исследователя подстерегает типичная ошибка, которая встречается даже в самых серьёзных работах. Дело в том, что для набора коэффициентов, наилучшим образом описывающего имеющиеся данные, могут оказаться нарушенными условия устойчивости, так что попытка моделировать данные с такими коэффициентами может приводить к расходимости. Процедуры оценивания с априорным ограничением на устойчивость оказываются крайне громоздкими и не всегда реализуемыми. Это замечание особенно актуально при использовании многомерных моделей.

Адаптивные фильтры

Краткосрочное прогнозирование ряда { x (k)} в условиях недостаточного физического понимания механизма формирования данных и отсутствия хорошей математической модели обычно основывается на одном из вариантов алгоритма экспоненциального сглаживания

с адаптивным управлением величиной коэффициента передачи α. На гладких участках используются малые значения α, на извилистых - значения α, близкие к 1. Так устроены адаптивные фильтры Брауна, Хольта-Уинтерса, Харрингтона и др.

Один из наиболее известных и простых подходов в задаче прогнозирования состоит в следующем. Пусть имеется n значений временного ряда измерений некоторого показателя на равномерной сетке с шагом :

Рассмотрим конечные разности этого ряда:

и построим на их основе набор следующих диагностических показателей:

Обычно приведенные диагностические показатели W_i строят по данным, прошедшим предварительную процедуру сглаживания. Полученные характеристики анализируются по линейности и постоянству уровня. После этого предлагается использовать для прогноза одну из форм тренда, соответствующих известным дифференциальным функциям развития:

- линейная зависимость;
линейна – парабола;
линейна – кубическая парабола;
- экспонента;
линейна – логарифмическая парабола ;
линейна – модифицированная экспонента ;
линейна – кривая Гомпертца ;
линейна – логистическая кривая ;
- степенная функция ;
линейно – комбинированная экспонента .

Вместо самого исходного ряда часто рассматривают его перестройки в логарифмическом или полулогарифмическом масштабе и замены переменных. Периодические функции лучше выявлять по форме спектральной плотности мощности (СПМ).

К сожалению, этот подход хорошо себя проявляет только в приложении к рядам достаточно простой структуры.

Модели Бокса-Дженкинса для стационарного ряда (как правило – ряда остатков) используют представления (8.6-8.7) и расчетные формулы вида (9.5). В них можно вводить дополнительный коэффициент дисконтирования (забывания) так, чтобы текущие результаты учитывали устаревшие измерения с пониженным весом.

Пример. Прогнозирование по модели ARMA (1,1). Предположим, что для временного ряда { x (k)} подобрана, например, по критерию Акаике, модель ARMA (1,1) с коэффициентами a,b и дисперсией порождающего шума :