Свойства определенного интеграла

Тема: Определенный интеграл

Определенный интеграл

Определение:

1. Пусть функция f(х) определена на отрезке [a, b]. Говорят, что задано разбиение отрезка [a, b] на n частичных отрезков, если заданы точки х₀, х₁, х₂, …, х_n такие, что a = x₀ < x₁ < x₂ < x_n = b. Отрезки [x_k-1, x_k], где k ∈{1, 2, …, n}, называются частичными отрезками, а число ∆= max ∆x_k, где ∆ x = x_k – x_k-1, называется диаметром разбиения. Выберем произвольным образом на каждом из частичных отрезков точку ξ_k ∈ [x_k-1, x_k] и вычислим значение функции f (ξ) в этой точке. Число

σ = f (ξ₁) ∆ x₁+ f (ξ₂) ∆ x₂ + … + f (ξ_n) ∆ x_n

построенное по данному разбиению и точкам ξ_k, называется интегральной суммой или суммой Римана данной функции f(x) на отрезке [a, b].

 

2. Число I называется пределом интегральных сумм, если как бы мало ни было число ε > 0, найдется такое другое положительное число δ = δ(ε), что при любом разбиении отрезка [a, b], удовлетворяющем требованию Δ< δ, и при любом выборе точек ξ_i ∈ [x_k-1, x_k] справедливо неравенство

3. Число I является определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a, b].

 

Обозначение:  где

f(x) – подынтегральная функция,

х – переменная интегрирования,

а – нижний предел интегрирования,

b – верхний предел интегрирования,

[a, b] – промежуток интегрирования.

 

Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = f(x), x = a, x = b и отрезком [a, b].

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть F(x) – какая-либо первообразная для непрерывной функции f(x), заданной на промежутке [a, b]. Тогда

Разность F(b) – F(a) может обозначаться как  – знак двойной подстановки.

 

Пример решения:

 

Свойства определенного интеграла

1. Перестановка границ интегрирования

При перестановке местами пределов интегрирования интеграл меняет свой знак на противоположный:

Если нижний и верхний пределы интегрирования совпадают между собой, то интеграл равен нулю:

2. Аддитивность относительно границ интегрирования

 

Если функция f (x) интегрируема на каждом из промежутков [ a, b ], [ a, c ] и [ c, b ], то

 

3. Линейность интегрирования.

 

Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b], то для любых действительных чисел α и β функция α·f(x) + β·g(x) также интегрируемы на [a, b]: