Неопределённый интеграл

1.1. Неопределённый интеграл, его свойства.
Таблица основных интегралов

Определение. Функция называется первообразной для функции на интервале , если для любого выполняется равенство

Пример. Для функции первообразной на множестве всех действительных чисел R = является функция поскольку для любого R. Отметим, что первообразными для той же функции являются также, например, функции и , как и всякая другая функция, отличающаяся от указанных постоянным слагаемым.

Теорема (о первообразной для данной функции). Если первообразная для функции , то любая другая первообразная для функции отличается от на некоторое постоянное слагаемое, т. е. существует постоянная С такая, что где

Доказательство. Пусть и две первообразные для функции на , т.е. и при любом . Рассмотрим функцию – F (x). Имеем для любого . Отсюда, согласно известному следствию из теоремы Лагранжа, следует, что , т.е.

Следствие. Если любая первообразная для функции , то всю совокупность первообразных для этой функции определяет выражение где

Определение. Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначение неопределенного интеграла:

где При этом х называют переменной интегриро-

вания, подынтегральной функцией, а подынтегральным выражением.

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию. Результат интегрирования можно проверить дифференцированием.

Возвращаясь к рассмотренному выше примеру, можно записать:

Геометрический смысл неопределённого интеграла от функции состоит в том, что он представляет собой совокупность графиков всех первообразных для этой функции. График совокупности можно получить из графика одной первообразной, если его перемещать параллельно самому себе вдоль оси ОY.

Свойства неопределенного интеграла:

Действительно,

Свойство 5 справедливо для любого конечного числа слагаемых.

Объединяя свойства 4 и 5, получаем линейное свойство неопределённого интеграла:

7. Теорема (об инвариантности формул интегрирования). Если то где произвольная непрерывно-дифференцируема функция.

Доказательство. Так как дифференциал первого порядка обладает свойством инвариантности, то где первообразная для , и, значит

Поскольку операции интегрирования и дифференцирования обратны по отношению друг к другу, то таблица основных интегралов легко получается из таблицы производных. Приведём таблицу основных интегралов для функции . При этом вместо буквы u при интегрировании может быть использована любая другая буква, например x, t, z и т. д. Кроме формул, получающихся непосредственно из таблицы производных, в таблицу интегралов включено несколько часто встречающихся интегралов.