Алгоритм решения задачи на вычисление площади

Задание: написать конспект. В конце лекции находятся задания для самостоятельного выполнения, которые вы должны решить и отправить преподавателю в личку.

ЛЕКЦИЯ № 53. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

План

1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Основные случаи расположения плоской фигуры.
2. Алгоритм решения задачи на вычисление площади.

 

 

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Основные случаи расположения плоской фигуры.

 

Используя понятие определенного интеграла, дадим общий метод вычисления площадей плоских фигур. Как известно, определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции. В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла, на этом основано его применение к вычислению площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, определяется как

Пусть требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми   у =f₁(x) и у = f₂(x), и прямыми х = а и х = b. В частных случаях боковые отрезки могут вырождаться в точки.

 

 

 

Выродились в точки по одному                           выродились оба

боковому отрезку

Рассмотрим случаи.

Случай I. Фигура ограничена осью ОХ, прямыми х=а, х = b и графиком функции у = f(x), причем f(x)>0.

Случай II. Фигура ограничена осью ОХ, прямыми х=а, х = b и графиком функции у = f(x), причем f(x)<0.

                                                                           В этом случае:

                                                            

                       У=f(x)                    

                                                  

Случай III. Фигура ограничена осью ОХ, прямыми х=а, х = b и графиками функций у = f(x) и y= φ(x), причем f(x)>0, φ(x)>0.

Случай IV. Если, f(x) £ 0, φ(x) £ 0, то графики функций расположены ниже оси абсцисс, а условие f(x) ≥ φ(x), означает, что график f(x) расположен выше графика φ(x)>0.

       Тогда площадь фигуры АВСD равна разности площадей криволинейных трапеций аDCb и aABb.

a                      b

B       C

A D

У = f(x)

Y = φ(x)

Используя для их вычисления формулу 2-го случая, поскольку f(x) £ 0, φ(x) £ 0, то получим:

S_ABCD = S_aDCb – S_aABb=

Таким образом, мы снова пришли к формуле рассмотренной в случае 3.

 

 

Случай V. Фигура ограничена осью ОХ, прямыми х=а, х = b, причем на интервале (а,с) φ(x)>0, а на интервале (c,d) φ(x)<0, тогда:

 

 

Алгоритм решения задачи на вычисление площади.

С помощью определенного интервала можно вычислить площади фигур, которые являются криволинейными трапециями или их комбинациями.

Алгоритм: