Длина вектора
Пусть – произвольный вектор. Длина вектора вычисляется по формуле:
.
Расстояние между двумя точками
Пусть и – произвольные точки пространства. Расстояние между точками и вычисляется по формуле:
.
Направляющие косинусы вектора
Направление вектора в пространстве можно задать углами , и , которые составляет данный вектор с осями координат. Косинусы этих углов: , и называются направляющими косинусами вектора.
Рис. 23
Пусть – произвольный вектор. Согласно формуле проекции вектора на ось будем иметь
,
,
.
Отсюда получим значения направляющих косинусов:
или
,
,
.
Из полученных равенств вытекает следующее тождество
.
Полученное тождество означает, что среди углов , и независимыми являются только два, а третий определяется из тождества (с точностью до знака).
Скалярное произведение двух векторов
Определение скалярного произведения
|
|
Определение 19. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними и обозначается :
.
Если известны скалярное произведение векторов , и их длины , , то угол между векторами (косинус угла между векторами) вычисляют по формуле
.
Если известны координаты векторов:
, ,
то скалярное произведение вычисляется по формуле
,
а косинус угла – по формуле
.
Свойства скалярного произведения
Свойство 1. – закон коммутативности.
Свойство 2. – закон ассоциативности.
Свойство 3. – закон дистрибутивности.
Свойство 4. ; для того чтобы два вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.
Свойство 5. ; скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Векторное произведение двух векторов