Линия без потерь в стационарном режиме

Характеристики линии без потерь. Если потери в линии передачи достаточно малы, то в ряде случаев можно ее идеализировать и считать, что потери отсутствуют совсем. Такие допущения наиболее часто делают при работе линии на очень высокой частоте или при выполнении условий coin ωL₀ ˃˃ R₀, ωC₀ ˃˃ G₀. В этом случае влияние реактивных параметров линии возрастает настолько, что потери в ней можно не учитывать, поэтому считают R₀ = C_0,

Таким образом, линия без потерь характеризуется всего двумя первичными параметрами L₀, С₀ или двумя вторичными параметрами:

(4.38)

(4.39)

Из уравнения (4.38) следует, что для пинии без потерь коэффициент фазы β = ω пропорционален частоте и, следовательно, фазовая скорость распространения электромагнитной волны в линии постоянна:

(4.40)

Например, для двухпроводной линии с воздушным диэлектриком фазовая скорость не зависит от частоты и равна:

В линиях с твердым диэлектриком скорость распространения волны в раз меньше.

Уравнения линии без потерь. Уравнения линии без потерь можно получить, используя уравнения линии с потерями, приведенные в таблице 4.2. Так, например, уравнения линии в гиперболических функциях с граничными условиями U₂,, I₂ в ее конце после замены гиперболических функций круговыми, приводят к уравнениям линии:

(4.41)

(4.41a)

Положив в уравнениях (4.41) и (4.41а) у = l, находим входное сопротивление линии без потерь:

(4.42)

Линии без потерь, согласованная с нагрузкой. Схема включения согласованной линии без потерь приведена на рисунке 4.2, а. Условием согласования линии с нагрузкой является равенство сопротивления нагрузки Z₂ характеристическому сопротивлению пинии Z_C. При этом уравнения линии (30.4) упрощаются и принимают вид:

(4.43)

(4.43а)

Входное сопротивление согласованной линии равно сопротивлению нагрузки, т. е.:

(4.44)

Если известно мгновенное значение напряжения на входе линии,

U₁= U_m₁cos(ωt + ᴪ_u₁) то из уравнений (4.43) и (4.43а) следует, что напряжение и ток в произвольном сечении линии имеют вид:

(4.45)

(4.45a)

Из уравнений (4.45) и (4.45а) следуют основные особенности распространения волны в согласованной линии без потерь:

- в любой точке линии напряжение и ток отличаются по фазе от напряжения и тока на входе линии на величину βx = β(l — у);

- разность фаз между напряжением в начале и в конце линии равна величине βl, которая называете» электрической длиной линии;

- напряжение и ток в любой точке линии совпадают по фазе, а их отношение равно характеристическому сопротивлению линии;

- любая точка на фронте волны перемещается в линии со скоростью

v = ω/β;

- действующее значение напряжения и тока в любой точке линии постоянное.

Такой процесс распространения напряжения и тока в линии называется режимом бегущей волны. Графики действующего значения напряжения и тока в линии приведены на рисунке 4.2,б.

Линия без потерь, замкнутая на конце Схема включения линии без потерь, замкнутой на конце, приведена на рисунке 4.3, а. В конце этой линии установлена перемычка, напряжение на которой U₂ = 0 Комплексные значения напряжения и тока в такой линии можно получить из уравнений (4.41) и (4.41а), положив в них U₂ = 0:

(4.46)

(4.46a)

Рисунок 2 – Включение согласованной линии без потерь

Действующие значения напряжения и тока изменяются вдоль линии по уравнениям:

(4.47)

(4.47a)

Графики изменений действующих значений напряжения и тока в линии приведены на рисунке 3, б. Из этого рисунка видно, что в линии имеются « узлы»напряжения и тока, т. е. точки на линии, в которых напряжение или ток обращаются в нуль. В линии также имеются «пучности» напряжения и тока, т. с. такие точки на линии, в которых напряжение или ток достигают максимального значения. Узлы и пучности отстоят друг от друга на расстояние Δy = λ/4.

Такой процесс распространения волн в линии называется режимом стоячей волны, который имеет следующие особенности:

- режим стоячей волны возникает в линии только при полном отсутствии в ней потерь,

- стоячая волна в линии появляется благодаря наложению (интерференции) падающих и отраженных волн, распространяющихся в противоположных направлениях,

Рисунок 3 – Включение замкнутой линии без потерь (а); графики напряжения и тока в ней

- действующие (и амплитудные) значения напряжения и тока изменяются вдоль линии по гармоническому закону, образуя пучности в тех точках линии, где фазы падающей и отраженной волн совпадают:

- о тех точках линии, где падающие и отраженные волны находятся в противофазе, образуются узлы напряжения или тока;

- отношение действующих значений напряжения и тока в пучностях равно волновому сопротивлению линии;

- напряжение и ток в любой точке линии сдвинуты по фазе между собой на угол ±90⁰.

Входное сопротивление замкнутой на конце линии можно найти из уравнении (4.47) и (4.47а), поделив их друг на друга и положив у = l:

(4.48)

Из уравнения (4.48) следует, что входное сопротивление линии, замкнутой на конце, имеет следующие особенности:

- оно является мнимой величиной, т. с. имеет реактивный характер;

- знак реактивного входного сопротивления изменяется через Δy = λ/4;

- при положительном значении входного сопротивления отрезок линии эквивалентен индуктивности;

- при отрицательном значении входного сопротивления отрезок линии эквивалентен емкости;

- в узлах напряжения входное сопротивление обращается в нуль, а в узлах тока - в бесконечность,

- отрезки короткозамкнутой линии длиной l = λ(2n+1)/4 имеют бесконечно большое входное сопротивление и эквивалентны параллельному колебательному контуру;

- отрезки короткозамкнутой линии длиной l = λ(2n+1)/4 имеют нулевое входное сопротивление и эквивалентны последовательному колебательному контуру;

- частоты резонансов тока зависят от длины линии l, ее первичных параметров L₀ С₀ и определяются по формуле:

- аналогично, частоты резонансов напряжения определяются по формуле:

График зависимости входного сопротивления линии от ее длины приведен на рисунке 4.

Рисунок 4 – Входное сопротивление замкнутой линии без потерь

Линия без потерь, разомкнутая на конце. Схема включения линии без потерь, разомкнутой на конце, приведена на рисунке 5, а.

Поскольку в конце линии имеется разрыв цепи, то ток I₂ = 0. Комплексные значения напряжения и тока в разомкнутой линии получаем из уравнений (4.4) и (4.4а), положив в них 1₂ = 0:

(4.49)

(4.49a)

Действующие значения напряжения и тока в линии характеризуются уравнениями:

(4.50)

(4.50a)

Графики изменений действующих значений напряжения и тока в линии приведены на рисунке 5, б. Как видно из этого рисунка, в линии также имеются узлы и пучности напряжения и тока. Следовательно, в линии без потерь, разомкнутой на конце, существует режим стоячей волны, который подобен аналогичному режиму в замкнутой линии

Рисунок 5 – Включение разомкнутой линии без потерь (а); графики напряжения и тока в ней (б)

Входное сопротивление линии, разомкнутой на конце, можно найти из уравнений (4.12) и (4.12а) при у =l:

(4.51)

Из уравнения (4.51) следует, что входное сопротивление линии, разомкнутой на конце, имеет следующие особенности:

-оно имеет реактивный характер,

-знак реактивности изменяется через промежуток Δl = λ/4,

-при 0 < l < λ/4 входное сопротивление имеет емкостной характер,

-в узлах напряжения входное сопротивление обращается в нуль, в узлах тока - в бесконечность,

-в узлах напряжения линия эквивалентна последовательному резонансному контуру,

-в узлах тока линия эквивалентна параллельному колебательному контуру.

Графики зависимости входного сопротивления линии от ее длины приведены на рисунке 6.

Рисунок 6. Входное сопротивление разомкнутой линии без потерь

Стоячие волны в линии. Стоячие волны напряжения и тока в линии возникают в том случае, если в самой линии или ее нагрузке не происходит поглощения энергии, поступающей от источника. Теоретически это может быть в том случае, когда используется линия без потерь, разомкнутая или замкнутая на конце, а также нагруженная на любое реактивное сопротивление Z₁ ~ ± jx₂ (индуктивное или емкостное).

Если линия без потерь разомкнута на конце (Z₂ = ∞), то в ней происходит полное отражение энергии от конца линии. При этом амплитуды падающей и отраженной волн напряжения оказываются одинаковыми и совпадают по фазе. В результате на конце линии амплитуда напряжения будет в два раза больше амплитуды падающей волны, т. е. U₂ = 2U_П.

Амплитуды падающей и отраженной волн тока в разомкнутой линии также одинаковые, но в отличие от напряжения на конце линии они сдвинуты на 180°. В результате ток в конце линии равен нулю.

Для линии, замкнутой на конце (Z₂ = 0), наоборот, падающие и отраженные волны тока совпадают по фазе, поэтому ток в конце линии в два раза больше тока падающей волны, т. е. I₂ = 2I_п. В то же время падающая и отраженная волны напряжения оказываются в противофазе и, следовательно, вычитаются. В результате напряжение на конце линии равно нулю.

Рисунок 7 - Входное сопротивление разомкнутой линии без потерь

Линия без потерь, нагруженная на реактивное сопротивление. Выше было показано, что входное сопротивление разомкнутой или замкнутой на конце линии является реактивным, а его значение зависит от длины линии l. Это позволяет считать, что линия без потерь, нагруженная на емкость С₂ (рисунок 8, а), эквивалентна более длинной разомкнутой линии. Напряжение, ток и входное сопротивление такой линии определяются выражениям:

(4.52)

(4.52a)

(4.53)

где - эффективное удлинение линии.

Линия, нагруженная на индуктивность L₂ (рисунок 8, б), эквивалентна более длинной замкнутой на конце линии. Напряжение, ток и входное сопротивление такой линии записываются в виде:

(4.54)

(4.55)

(4.56)

где - эффективное удлинение линии.

Рисунок 8 - Линии, нагруженная на емкость (а); на инлуктивность (б)

Все сказанное позволяет сформулировать основные особенности работы линии без потерь, нагруженной на индуктивность или емкость:

- в липни, нагруженной на индуктивность, первой от конца линии всегда будет пучность напряжения и узел тока (рисунок 8, а),

- в линии, нагруженной на емкость, первым от конца всегда будет узел напряжения и пучность тока (рисунок 8, б),

- при расчете линии, нагруженной на реактивное сопротивление, можно пользоваться уравнениями, полученными для режимов разомкнутой или замкнутой линии, перенеся начало отсчета на Δl.

Согласование линии с нагрузкой. Если линия используется для передачи энергии сигнала в нагрузку, то основным режимом ее работы является режим бегущей волны При этом, если сопротивление нагрузки не равно волновому сопротивлению кабеля, то для обеспечения согласования используются различные устройства: короткозамкнутые или разомкнутые шлейфы, трансформаторы сопротивлений и др.

Наиболее часто для согласования линии с нагрузкой используются короткозамкнутые шлейфы и четвертьволновые трансформаторы сопротивления.

Короткозамкнутым шлейфом называется отрезок короткозамкнутой линии, подключаемой для согласования.линии с нагрузкой. Такой шлейф подключается к линии вблизи нагрузки в такой точке, в которой комплексная проводимость линии со стороны нагрузки равна:

(4.57)

Схема подключения шлейфа показана на рисунке 9, а. Так как входное сопротивление короткозамкнутого шлейфа реактивное, то, подобрав его длину так. чтобы его входная проводимость была равна:

(4.57а)

получим суммарную проводимость в точке подключения шлейфа:

(4.57б)

Таким образом, входное сопротивление линии в месте подключения шлейфа будет активное и равное волновому. В этом случае на участке линии от генератора до места включения шлейфа будет существовать только бегущая волна. Если комплексный коэффициент отражения волны в линии:

где Г₂ - модуль коэффициента отражения от конца линии, а Ф - его аргумент, то место включения шлейфа можно определить, пользуясь уравнениями:

(4.58) (4.59)

Для согласования линии с нагрузкой можно также использовать четверть волновым трансформатор. Четвертьволновым трансформатором сопротивления называется отрезок линии длиной λ/4 с волновым сопротивлением ρ_тр = ρ, который включается между нагрузкой и источником, как показано на рисунке 9 6. Место включения трансформатора выбирается таким образом, чтобы он был нагружен активным сопротивлением:

(4.60)

Рисунок 9 - Согласование линии с нагрузкой с помощью шлейфа (а), с помощью четвертьволнового трансформатора (б). с помощью шлейфа и трансформатора (в)

При этом волновое сопротивление трансформатора можно определить, пользуясь выражением:

(4.61)

Если трансформатор подключается непосредственно к нагрузке, го для компенсации реактивного сопротивления нагрузки, используются реактивные шлейфы, как показано на рисунке 9, в.

Применение линии без потерь. Основными применениями линии без потерь являются:

- передача электромагнитной энергии от одного устройства к другому;

- в качестве устройств согласования линии с нагрузкой;

- в качестве элементов колебательных систем;

- в качестве измерительных устройств.

При использовании линии для передачи энергии используется режим бегущей волны, при котором требуется выполнить условие согласования линии с нагрузкой.

Отрезки линии без потерь могут быть использованы для согласования нагрузки с основной линией передачи. Для этой цели обычно используются четвертьволновые трансформаторы и короткозамкнутые шлейфы.

Отрезки короткозамкнутых или разомкнутых линий передачи часто используются в качестве колебательных контуров или реактивных элементов (индуктивностей или емкостей).

Линия без потерь может быть использована в измерительных целях. Ее возможности позволяют измерять длину волны, коэффициенты бегущей волны, сопротивления нагрузки, напряжение и ток в линии передачи. Например, для измерения напряжения в линии можно использовать четвертьволновый отрезок линии, нагруженный на амперметр, с малым внутренним сопротивлением. При этом входное сопротивление такого измерительного устройства очень высокое (теоретически бесконечное) и не оказывает влияния на линию передачи.

Энергетические соотношения в линии. Мощность, отдаваемая источником в линию;

(4.62)

Мощность, потребляемая нагрузкой:

(4.63)

Если линия согласована с нагрузкой, то:

КПД линии передачи определяется отношением мощности, потребляемой нагрузкой, к мощности, отдаваемой источником:

(4.64)

Для согласованной линии КПД имеет значение:

(4.65)

В линии без потерь, работающей на реактивную нагрузку, замкнутой или разомкнутой на конце, существует режим стоячих волн, при котором мощность в узлах напряжения или тока равна нулю. В остальных точках линии мощность реактивная, так как напряжение и ток сдвинуты по фазе на 90⁰. В этом случае энергия по линии не перелается.

Если нагрузка линии активная, то узлы напряжения и тока я линии исчезают. Активная мощность, поступающая в нагрузку, определяется выражением:

(4.66)