Раздел 4Б
4.1. Линии передачи с потерями в стационарном режиме
Устройство и назначении линий передачи. Передача сигналов от генератора к нагрузке выполняется при помощи системы проводников, которые обычно называют линиями передач. Устройство линий передач может быть различным и зависит от их назначения, области применения, диапазона частот и других факторов. По конструкции линии передачи разделяют на следующие группы: двухпроводные, коаксиальные, полосковые, многопроводные.
Линия передачи называется длинной, если ее длина соизмерима с длиной волны, которая по ней распространяется. Основным назначением линии передачи является передача электромагнитной энергии от одного устройства к другому. Однако, кроме этого длинные линии находят применение в качестве резонансных колебательных систем, излучающих устройств, трансформаторов сопротивлений и некоторых других устройств. Особенностью линии передачи является невозможность разграничения в ней элементов, содержащих магнитную. электрическую или тепловую энергию.
|
|
Первичные параметры линии. Схематическое изображение линии передачи приведено на рисунке 4.1, а. На этом рисунке линия передачи представлена в вид двух проводов, к которым с одной стороны подключен источник напряжения и1 а с другой - нагрузка z2. Общая длина линии равна l, а отсчет координаты рассматриваемого сечения линии ведется или от источника напряжения (расстояние х) или от нагрузки (расстояние у), при этом выполняется условие у = 1 - х.
Каждый бесконечно малый участок длинной линии несет в себе все перечисленные выше виды энергии и может быть замещен эквивалентной Г-образной схемой, приведенной на рисунке 4.1, б. В последовательном плече этой схемы включены элементарные бесконечно малые сопротивление dR и индуктивность dL. Аналогично, в параллельном плече включены элементарная проводимость dG и емкость dC.
Отношение этих величин к элементу’ длины линии dx = ~dy называют погонными параметрами линии.. Eсли линия однородна по всей длине, то ее погонные параметры постоянны и определяются по формулам:
(4.1)
Рисунок 4.1.Линия передачи а) и схема замещения се участка
длиной dx (б.
Эти погонные параметры, представляющие собой значения сопротивления. индуктивности, проводимости и емкости, приходящиеся на единицу длины линии, называются первичными параметрами линии.
Погонное сопротивление линии R0 учитывает потери в двух проводах линии передачи. Это сопротивление растет с ростом частоты, что обусловлено поверхностным эффектом. Аналогично, погонная индуктивность L0 учитывает результирующую индуктивность двух проводников на единицу длины линии. С увеличением диаметра проводников индуктивность уменьшается.
|
|
Погонная емкость линии С0 характеризует емкость между ее проводниками на единицу длины. Эта емкость растет с увеличением диаметра проводников и уменьшением расстояния между ними. Она также зависит от диэлектрической проницаемости изоляции между проводниками. Погонная проводимость Gt учитывает потери в изоляции между проводниками линии. С ростом частоты погонная проводимость увеличивается, так как растут потери в изоляции. В воздушных линиях передачи погонную проводимость не учитывают ввиду ее малости Значения погонных параметров для двух типов воздушных линий (двухпроводной и коаксиальной) из медныx проводников приведены в таблице 4.1.
Таблица 4.1
Погонные параметры воздушных линий передачи
Тип линии | R0, мкОм/м | G0, мкСм/м | L0, мкГн/м | Со, пФ/м |
Двухпроводная | G+ kf | 0,41n (2 a/d) | 28/ln(2a/d) | |
Коаксиальная | 0,2 In (d1/d2) | 55In (d2/d1) |
где: f - частота тока в Гц, d - диаметр проводника в см, G. - проводимость изоляции на постоянном токе в См/м, 8 - угол диэлектрических потерь, а - расстояние между проводниками.
Дифференциальные уравнения линии передачи. Уравнения линии могут быть получены из рассмотрения модели, приведенной на рис 4.1. При рассмотрении процессов, происходящих в Линии, будем считать, что напряжение и ток в линии являются функциями двух переменных - времени г и пространственной координаты х (или у).
Используя погонные параметры линии передачи (4.1), получим:
Уравнения линии, определяющие приращения напряжения и тока на участке линии длиной dx, можно записать в виде:
в которых используются частные производные и , так как ток i(x, t) и напряжение и(х, t) являются функциями двух переменных х и t.
Учитывая, что и из (4.2) получаем:
В уравнениях линии (4.3) можно разделить переменные. Для этого следует уравнение (4.3) продифференцировать по t, а уравнение (4.3 а) - по х, тогда получим:
Произведя подстановку уравнения (4.4) в уравнение (4.4 а), получим дифференциальное уравнение для тока в линии:
(4.5)
Аналогично можно получить дифференциальное уравнение для напряжения в линии:
(4.5a)
Уравнения (4.5) и (4.5 а) называют телеграфными уравнениями и их сравнение показывает, что решения для тока и напряжения следует искать в одной и тон же форме В общем случае эти уравнения можно решить только при известных граничных условиях, в качестве которых обычно используют напряжения и токи в конце или начале линии. Полные интегралы этих уравнений позволяют определить токи и напряжения в линии как в стационарном, так и в переходном режимах.
Уравнения линии в стационарном режиме при гармоническом сигнале. При гармоническом напряжении и токе , выполнив дифференцирование по времени и подставив полученные значения в уравнения (4.5) и (4.5а), получим для комплексных значений напряжения и тока дифференциальные уравнения в полных производных:
(4.6)
(4.6a)
где и - погонные комплексные сопротивление и проводимость линии, соответственно.
Характеристическое уравнение для дифференциальных уравнений (4.6) и (4.6а) имеет одинаковый вид:
(4.7)
а его решение дает два корня , где - коэффициент распространения волны в линии.
Решение уравнения (4.6) ищется в виде:
(4.8)
где А и В - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий. Аналогичное решение имеет уравнение (4.6а)
(4.8a)
где С и D - постоянные интегрирования, также определяемые из граничных условий.
Поскольку нз уравнения (4.3) следует, что:
|
|
то, выполняя дифференцирование уравнения (4.8), найдем постоянные интегрирования , поэтому уравнение (4.8а) можно записать в виде:
(4.9)
где - характеристическое (волновое) сопротивленце читт передачи.
Из уравнений (4.8) и (4.9) следует, что напряжение и ток состоят из двух составляющих. Первые составляющие в этих уравнениях характеризуют падающие волны напряжения и тока, которые перемещаются от источника к нагрузке, вторые - отраженные волны, которые перемещаются в обратном направлении. В связи с этим уравнения (4.8) и (4.9) можно представить в виде суммы падающих и отраженных волн напряжения и тока:
(4.10)
(4.10a)
где - напряжение падающей волны;
- напряжение отраженной волны,
- ток падающей волны;
- ток отраженной волны.
Напряжения и токи падающих и отраженных волн связаны законом Ома:
(4.11)
В зависимости от заданных граничных условий значения постоянных интегрирования А и В могут выражаться различным образом:
- через напряжение , и ток , в начале линии (т. е. при х = 0),
- через напряжение , и ток , в начале линии (т. е. при y = 0),
- через напряжение , и и сопротивление нагрузки и т.д.
Кроме этого, уравнения линии можно представить в гиперболических функциях, используя известные соотношения:
Различные формы записи уравнений линии приведены в таблице 4.2. В этих уравнениях учтено введенное ранее условие у = 1 - х и использовано соотношение .
Вторичные параметры линии. Вторичными параметрами линии являются ее волновое сопротивление и коэффициент распространения волн тока и напряжения.
Волновое сопротивление ZС можно рассматривать как входное сопротивление бесконечно длинной однородной линии и определять через первичные параметры по формуле:
(4.12)
В общем случае волновое сопротивление линии является комплексным и может быть представлено в виде:
(4.13)
|
|
где - модуль волнового сопротивления;
- аргумент волнового сопротивления;
rC и хC, - соответственно активная и реактивная составляющие волнового
сопротивления.
Таблица 4.2
Уравнения линии передачи
На постоянном токе (ω = 0) и очень высокой частоте (ω→∞) волновое сопротивление вещественное:
(4.14)
Если потери в линии малы (R0 ˂˂ ωL0, G0 ˂˂ C0), то волновое сопротивление имеет емкостной характер:
(4.15)
Для кабельных линий при выполнении условий активная и реактивная составляющие волнового сопротивления оказываются одинаковыми:
(4.16)
Процесс распространения вдоль линии волн напряжения или тока характеризуется коэффициентом распространения:
(4.17)
В общем случае коэффициент распространения представляет собой комплексную величину γ = а + jp, в которой вещественная часть а характеризует эатухание амплитуды волн на единичном отрезке длины линии, а мнимая часть β характеризует изменение фазы волны на том же отрезке линии.
Коэффициент затухания измеряется в нсперах или белах на метр, а коэффициент фазы - в радианах или градусах на метр. Произведение коэффициента затухания на длину отрезка линии определяет затухание волны в данном отрезке.
или
где U1 и U2 - напряжение в начале и конце отрезка линии.
Так как непер и бел являются сравнительно крупными единицами, то на практике большое распространение получила единица затухания, называемая децибелом (дБ) и определяемая как 0,1 Б, причем:
(4.18)
Затухание волн тока определяется аналогично затуханию волн напряжения:
=
где I1, и 12 - токи соответственно в начале и конце линии.
В ряде случаев затухание определяют через мощности Р1 в начале отрезка линии и Р2 в конце отрезка линии. При этом расчет затухания производится по формуле:
=
При переходе от одних единиц измерения затухания к другим можно пользоваться соотношением 1 Нп = 0,8686 дБ.
При расчете коэффициентов затухания и фазы по первичным параметрам линии можно пользоваться выражениями:
(4.19)
(4.19a)
Если потери в линии достаточно малы, то расчет коэффициентов затухания и фазы можно производить по упрощенным формулам:
при R0 ˂˂ ωL0 и G0 ˂˂ ωC0
Для линии без потерь (R0 = G0 =0) справедливы соотношения
(4.20)
Если линия работает на постоянном токе (ω = 0), то β = 0, а Для кабельной линии обычно выполняется условие G0 = L0 = 0. При этом расчет коэффициентов затухания и фазы производится по формуле:
Коэффициент отражения. Коэффициентом отражения волны в линии называется отношение комплекса отраженной волны к комплексу падающей волны напряжения или тока:
(4.21)
Отражение в неоднородны линиях возникает в месте нарушения однородности (например, в месте соединения двух линий с различными волновыми сопротивлениями). В однородных линиях отражение возникает в местах подключения генератора или нагрузки Отражение от генератора характеризуется коэффициентом отражения от начала линии (x = 0):
(4.22)
где - входное сопротивление линии.
Отражение от нагрузки характеризуется коэффициентом отражения от конца линии:
(4.23)
где - сопротивление нагрузки.
Для линии, согласованной с нагрузкой и генератором (Z1 = Z2 =- ZС) коэффициенты отражения Если линия закорочена или разомкнута на конце (Z2 = 0 или Z2 = ∞), то в ней возникает полное внутреннее отражение и | Г | = 1.
Входное сопротивление. Входное сопротивление линии равно отношению напряжения к току на входе линии:
(4.24)
Входное сопротивление позволяет заменить рассмотрение цепей с распределенными параметрами цепями с сосредоточенными параметрами. При анализе линий с потерями входное сопротивление можно определить по формуле:
(4.25)
Если линия согласована с нагрузкой (Z2 = Zc)s то Zвх = Zc Для линии, закороченной на конце (Z2 = 0):
(4.26)
Для линии, разомкнутой на конце (Z2 = ∞):
(4.26a)
Входное сопротивление линии можно определять по режимам холостого хода и короткого замыкания:
(4.27)
Включение нагрузки в линию можно рассматривать как изменение се длины. При этом входное сопротивление определяется выражением:
(4.28)
где - эффективное удлинение линии.
Эффективное удлинение Δl → ∞ для линии, согласованной с нагрузкой (Z2 = Zc). Для закороченной на конце линии Δl = 0.
Значения входного сопротивления линии в режимах короткого замыкания и холостого хода позволяют определить вторичные параметры:
(4.29)
(4.30)
(4.31)
Фазовая скорость волны в линии. Волны напряжения и тока распространяются в линии с конечной скоростью. Фазовая скорость волны определяется скоростью, с которой распространяется вдоль линии любое значение бегущей волны тока или напряжения с фиксированной фазой:
(4.32)
Кроме фазовой скорости, волна в линии характеризуется еще своей длиной λ представляющей кратчайшее расстояние между двумя точками линии, в которых фаза колебания волны в любой момент одинакова. Это означает, что фазовые углы в точках х и х + λ отличаются на 2π, откуда следует, что:
(4.33)
Зависимость фазовой скорости от частоты колебания приводит к искажению формы сложного сигнала, распространяющегося в линии. Такое явление получило название дисперсии волны в липни. Дисперсия волны в линии отсутствует, если коэффициент фазы пропорционален частоте колебаний:
Линия без искажений. Линия не искажает передаваемого по ней сложного сигнала, если коэффициент затухания и фазовая скорость волны в ней на всех частотах одинаковы. Такое положение имеет место в том случае, когда выполняется условие:
(4.34)
В этом случае коэффициент затухания не зависит от частоты:
(4.35)
а коэффициент фазы пропорционален частоте:
(4.35)
Фазовая скорость в линии без искажений постоянна:
(4.37)