Кафедра моделирования сложных систем

Кафедра моделювання складних систем

З а в д а н н я

по дисципліні

“Теорія ймовірностей і математична статистика”

(п’ятий семестр)

МОДУЛЬ 1

Суми – 2011

Завдання по дисципліні “Теорія ймовірностей і математична статистика” для студентів факультету електроніки та інформаційних технологій очної форми навчання – Модуль 1.

Укладач – проф. Мазманішвілі О.С., професор кафедри моделювання складних систем.

Затверджено на засіданні кафедри моделювання складних систем СумДУ (протокол № 8 от 28.05.2011 г.)

ЗАВДАННЯ 1

ЗАДАЧА 1

В урні a білих и b чорних кульок. З урни взяли одну кульку та (не дивлячись на нею), відклали в бік. Ця кулька виявилася білою. Після цього з урни беруть ще одну кульку. Знайти ймовірність того, що ця кулька також буде білою.

ЗАДАЧА 2

Є 3 урни: в першої a білих кульків і b чорних; в другий c білих кульок и d чорних; в третьої k білих кульок (чорних немає). Обрана наугад урна та з неї взята одна кулька. Вона з’явилася білою. Знайти ймовірність того, що ця кулька з першої, другої або третьої урни.

ЗАДАЧА 3

Написати закон розподілу дискретної випадкової величини X – кількості появ "герба" при двох киданнях монети.

ЗАДАЧА 4

В колі густина розподілу системи (X,Y) наступна: ; понад кола . Знайти: а) сталу A; б) ймовірність влучення випадкової точки (X,Y) в коло радіусом r = 1 з центром в початку координат, якщо R = 2.

ЗАВДАННЯ 2

ЗАДАЧА 1

В урні a білих та b чорних кульок. З урни взяли одну кульку та (не дивлячись) відклади в бік. Після цього з урни взяли ще одну кульку. Вона з’явилася білою. Знайти ймовірність того, що перша кулька – також біла.

ЗАДАЧА 2

Три стрільця незалежно виконали по одному пострілу. Дві пулі попали в мішень. Знайти ймовірність того, що в мішень попав третій стрілець, якщо ймовірність влучення першим, другим і третім стрільцем відповідно дорівнюють 0,6, 0,5 та 0,4.

ЗАДАЧА 3

Однотипні деталі в залежності від точності виготовлення розрізняються за формою як круглі та овальні, а за вагою – як легкі та тяжкі. Ймовірності того, що взята наугад деталь з’явиться круглою та легкою, овальною та легкою, круглою та тяжкою, овальною та тяжкою, відповідно дорівнюють , , та . Знайти математичне сподівання і дисперсії: а) кількості круглих деталей X; б) кількості легких деталей Y; в) коефіцієнт кореляції між кількістю круглих і кількістю легких деталей, якщо = 0.40; = 0,05; = 0,10.

ЗАДАЧА 4

Дві точки обрані наугад на суміжних сторонах прямокутника зі сторонами a та b. Знайти математичне сподівання відстані L між цими точками.

ЗАВДАННЯ 3

ЗАДАЧА 1

В урні a білих і b чорних кульок. З урни винимають одна за іншою всі кульки, опріч одної. Знайти ймовірність того, що остання кулька буде білою.

ЗАДАЧА 2

В домі включили в 2 k нових електричних лампочок. Кожна лампочка за рік перегорає з ймовірністю r. Знайти ймовірність події: А = { за рік не менш половини підключених лампочок буде потрібно замінити новими }.

ЗАДАЧА 3

На відрізок довжиною L наугад кинути дві точки. Знайти математичне сподівання та дисперсію відстані S між ними.

ЗАДАЧА 4

Випадкові величини X та Y пов’язані співвідношенням p X + q Y = c, де p, q та c – невипадкові величини, причому та . Знайти: а) коефіцієнт кореляції ; б) відношення середньоквадратичних відхилень .

ЗАВДАННЯ 4

ЗАДАЧА 1

З урни, в який a білих та b чорних кульок, винимають наугад кульки. Знайти ймовірність того, що друга в черзі кулька буде білою.

ЗАДАЧА 2

В лотереї N білетів, з яких L виграшних. Куплено K білетів. Знайти ймовірність того, що виграє хоча б один білет.

ЗАДАЧА 3

На колі радіусом R з центром в початку координат наугад кинута точка. Знайти математичне сподівання площі S квадрата зі стороною, що дорівнює абсцисі цієї точки.

ЗАДАЧА 4

Незалежні випадкові величини X та Y розподілені за законом Гаусса з параметрами , , , . Написати вираз для густини ймовірностей системи випадкових величин (X,Y).

ЗАВДАННЯ 5

ЗАДАЧА 1

На п’яти однакових картках написано цифри 1, 2, 3, 4, 5. Виймаються наугад одна за одною дві картки. Знайти ймовірність таких подій: а) сума цифр на вийнятих картках – непарне число; б) друга цифра менше за першу; в) друга цифра перебільшує першу рівно на одиницю.

ЗАДАЧА 2

Монету підкидають 5 разів. Знайти ймовірність того, що "герб" випаде: а) менше 2 раз; б) не менше 2 раз.

ЗАДАЧА 3

Миттєві значення амплітуди X сигналу, що приймається, описуються розподілом Релея , . Обчислити середнє значення та дисперсію випадкової величини X.

ЗАДАЧА 4

Термін X безвідмовної роботи обладнування є величина випадкова и має таку інтегральну функцію розподілу ймовірностей , . Знайти ймовірність безвідмовної роботи обладнування за час .

ЗАВДАННЯ 6

ЗАДАЧА 1

З колоди з 52 карт виймають одночасно три карти. Знайти ймовірність того, що серед вийнятих карт знайдеться хоча б одна червоної масті.

ЗАДАЧА 2

В урні 2 білих і 3 чорних кульок. Два гравця за чергою винимають з урні кульки, не перевіряючи їх. Виграє той гравець, який раніше отримає білу кульку. Знайти ймовірність того, що виграє перший гравець.

ЗАДАЧА 3

Густина ймовірностей двовимірної випадкової величини (X,Y) визначається формулою , . Визначити: математичні сподівання та ; дисперсії D[X] та D[Y] випадкових величин X та Y; кореляційну та нормовану кореляційну матриці.

ЗАДАЧА 4

Знайти ймовірність того, що подія A наступить рівно 80 разів в 400 іспитах, якщо ймовірність появи цієї події в кожному іспиті дорівнює 0,7.

ЗАВДАННЯ 7

ЗАДАЧА 1

В партії деталей є n стандартних та m бракованих. При контролю виявилось, що перші k деталі стандартні. Визначити ймовірність P того, що наступна деталь буде стандартною.

ЗАДАЧА 2

З чисел 1,2,…, n одно за другим обирають наугад два числа. Яка ймовірність того, що різниця між першим обраним числом і другим буде не менш за m (m > 0)?

ЗАДАЧА 3

Випадкова величина X має нормальний розподіл з параметрами , . Як зміниться густина розподілу ймовірностей , якщо параметри приймуть значення , ?

ЗАДАЧА 4

Неперервна випадкова величина X в інтервалі () задана густиною розподілу ймовірностей , (), поміж цього інтервалу . Знайти ймовірність того, що X прийме значення в інтервалі (1, 2).

ЗАВДАННЯ 8

ЗАДАЧА 1

Чотирьохтомне видання розміщено в випадковому порядку. Знайти ймовірність того, що томи розміщені в правильному порядку справа наліво або зліва направо.

ЗАДАЧА 2

На залізничній станції пасажир отримує сейф (індивідуальна камера збереження багажу). Цей сейф відкривається тільки при наборі деякого трьохзначного шифру (наприклад: 253, 009, 325 и т.д.). Пасажир набрав шифр, закрив сейф та пішов. Стороння людина, яка не знає шифру, намагається відкрити сейф, набираючи три цифри наугад (при цьому, природно, невдалі комбінації не повторюються). Знайти ймовірності подій:

A = {сейф відкриється з першої спроби};

B = {сейф відкриється після k спроб}.

ЗАДАЧА 3

Неперервна випадкова величина X в інтервалі () задана густиною розподілу ймовірностей , (), понад цього інтервалу . Знайти ймовірність того, що X прийме значення, яке належить інтервалу (2, 3).

ЗАДАЧА 4

Автомат штампує деталі. Імовірність того, що виготовлена деталь з’явиться бракованою, дорівнює 0,01. Знайти ймовірність того, що серед 200 деталей з’явиться рівно 4 бракованих.

ЗАВДАННЯ 9

ЗАДАЧА 1

Набираючи номер телефону, абонент забув дві останні цифри. Однак він пам’ятає, що ці цифри – різні, і набрав їх наугад. Визначити ймовірність Р того, що набрані потрібні цифри.

ЗАДАЧА 2

Ймовірність того, що в електричній мережі напруга перевищить номінальне значення, дорівнює p. При підвищеній напрузі ймовірність аварії електричного прибору дорівнює q. Визначити ймовірність аварії прибору внаслідок підвищення напруги.

ЗАДАЧА 3

Посібник видано тиражем 100000 екземплярів. Імовірність того, що посібник видано з помилкою, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить рівно 5 бракованих посібників.

ЗАДАЧА 4

При випробуваннях 1000 випадково обраних резисторів за деякий час виявилось, що відносна частота справних резисторів дорівнює 0,95. Визначити кількість справних резисторів.

ЗАВДАННЯ 10

ЗАДАЧА 1

На поверхні сфери беруть наугад дві точки та з’єднують їх мало дугою великого кругу. Знайти ймовірність того, що розмір дуги не перевищить радіан.

ЗАДАЧА 2

Повідомлення, що передається по каналу зв’язку, містить n знаків (символів). При передачі кожний знак спотворюється (незалежно від інших) з імовірністю p. Для надійності повідомлення дублюється (повторюється k разів). Знайти ймовірність того, що хоча б одно з переданих повідомлень не буде спотворено ні в одному знаку.

ЗАДАЧА 3

В урні находяться 3 білих, 4 чорних і 5 синіх кульки. Кожен іспит складається з того, що наугад виймають одну кульку, не повертаючи її в урну. Знайти ймовірність того, що при першому іспиті з’явиться біла кулька, при другому – чорна та при третьому – синя.

ЗАДАЧА 4

На змаганнях виконується 4 незалежних пострілу в однакових умовах, причому ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнюється p = 0,20. Знайти ймовірності Р , Р , Р , Р , Р .

ЗАВДАННЯ 11

ЗАДАЧА 1

Наугад обрано ціле чотиризначне число. Визначити ймовірність того, що в цьому числі: а) всі цифри різні; б) є тільки дві однакові цифри; в) є дві пари однакових цифр; г) є тільки три однакові цифри.

ЗАДАЧА 2

Є урн, кожна з яких містить білих та чорних кульок, та урн, що містять по білих та чорних кульок. Наугад обрана урна, а з неї наугад обрана кулька. Ця кулька оказалася білою. Яка ймовірність того, що ця кулька витягнута з першої групи урн?

ЗАДАЧА 3

Густина ймовірності двовимірної випадкової величини (X,Y) визначається формулою , . Знайти сталу , визначити: математичні сподівання та ; дисперсії D[X] та D[Y] випадкових величин X и Y; кореляційну та нормовану кореляційну матриці.

ЗАДАЧА 4

Знайти ймовірність того, що подія A наступить рівно 80 разів в 400 іспитах, якщо ймовірність появи цієї події в кожному іспиті дорівнює 0,1.

ЗАВДАННЯ 12

ЗАДАЧА 1

Кинуто n шостиграних гральних кісток. Знайти ймовірність отримання суми очків, яка дорівнює: а) n; б) n+ 1.

ЗАДАЧА 2

За допомогою шести карток, на яких написано по однієї букві, побудовано слово "карета". Картки старанно перемішуються, а потім наугад витягаються одна за одною. Яка ймовірність того, що порядок знаходження букв утворює слово "ракета"?

ЗАДАЧА 3

Неперервна випадкова величина X в інтервалі () задана густиною розподілу ймовірностей , (), понад цього інтервалу . Знайти ймовірність того, що X прийме значення, що належить інтервалу (3, 4).

ЗАДАЧА 4

Посібник видано тиражем 100000 екземплярів. Імовірність того, що посібник видано з помилкою, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить рівно 10 бракованих посібників.

ЗАВДАННЯ 13

ЗАДАЧА 1

Кинуто три монети. Припускаючи, що елементарні події рівноймовірні, знайти ймовірності подій:

А = {перша монета випала гербом вверх},

В = {випало рівно два герба},

C = {випало не більш двох гербів}.

ЗАДАЧА 2

Обчислювальна машина складається з N блоків. Надійність (імовірність безвідмовної роботи) за час T першого блока дорівнює , другого – и т.д. Блоки відмовляються незалежно один від іншого. При відмові любого блоку відмовляє машина. Знайти ймовірність того, що машина відмовить за час T.

ЗАДАЧА 3

В урні находяться 2 білих, 3 чорних і 4 синіх кульки. Кожний іспит складається з того, що наугад виймають одну кульку, не звертаючи її в урну. Знайти ймовірність того, що при першому іспиті з’явиться біла кулька, при другому – чорна та при третьому – синя.

ЗАДАЧА 4

Миколай і Петро домовились зустрітися на автобусній станції між 8 та 9 годинами. Кожний, хто прийшов на станцію, чекає іншого не більш як 15 хвилин, а потім уходить. Знайти ймовірність зустрічі Миколая та Петра, припускаючи, що моменти їх прибуття є координатами точки, яка має рівномірний розподіл в квадраті [8,9] [8,9] (годин).

ЗАВДАННЯ 14

ЗАДАЧА 1

В урні 2 білих, 3 чорних та 5 червоних кульок. Три кульки виймають наугад. Знайти ймовірність того, що серед вийнятих кульків хоча б дві будуть різного кольору.

ЗАДАЧА 2

З колоди в 52 карт наугад беруть 6 карт. Знайти ймовірність того, що серед цих карт будуть представлені усі чотири масті.

ЗАДАЧА 3

Незалежні випадкові величини X а Y розподілені за законом Гаусса з параметрами , , , . Написати вираз для густини ймовірностей системи випадкових величин (X,Y).

ЗАДАЧА 4

Автомат штампує деталі. Ймовірність того, що виготовлена деталь з’явиться бракованою, дорівнює 0,01. Знайти ймовірність того, що серед 200 деталей з’явиться рівно 10 бракованих.

ЗАВДАННЯ 15

ЗАДАЧА 1

При транспортуванні коробки, в якої знаходились 21 стандартна і 10 нестандартних деталей, загублена одна деталь, причому невідомо яка. Наугад взята (після транспортування) з коробки деталь оказалася стандартною. Знайти ймовірність того, що була загублена: а) стандартна деталь; б) нестандартна деталь.

ЗАДАЧА 2

Ймовірності влучення при кожному пострілі для 3 стрільців дорівнюються відповідно 4/5, 3/4 і 2/3. При одночасному пострілі усіх трьох стрільців було два влучення. Визначити ймовірність того, що помилився перший стрілець.

ЗАДАЧА 3

Знайти ймовірність того, що подія A наступить рівно 80 разів в 400 іспитах, якщо ймовірність появи цієї події в кожному іспиті дорівнює 0,8.

ЗАДАЧА 4

Дві гральні кістки одночасно кидають два рази. Написати закон розподілу дискретної випадкової величини X – кількості появ парного числа очків на двох гральних кістках.

ЗАВДАННЯ 16

ЗАДАЧА 1

При випробуваннях 200 випадково обраних резисторів за деякий час виявилось, що відносна частота справних резисторів дорівнює 0,95. Визначити кількість справних резисторів.

ЗАДАЧА 2

З повного набору доміно наугад беруть дві кістки. Визначити ймовірність того, що другу кість можна приставити до першої.

ЗАДАЧА 3

Термін X безвідмовної роботи обладнання є величина випадкова и має таку інтегральну функцію розподілу ймовірностей . , . Знайти ймовірність безвідмовної роботи обладнування за час .

ЗАДАЧА 4

Автомат штампує деталі. Імовірність того, що виготовлена деталь з’явиться бракованою, дорівнює 0,01. Знайти ймовірність того, що серед 200 деталей з’явиться рівно 2 бракованих.

ЗАВДАННЯ 17

ЗАДАЧА 1

На площині накреслені паралельні прямі, що знаходяться одна від другої на відстані 2 h. На площину наугад кинуто коло радіусом r (r < h). Знайти ймовірність того, що коло не перетне ні однієї прямій.

ЗАДАЧА 2

На змаганнях виконуються 4 незалежних пострілу в однакових умовах, причому ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнюється p = 0,25. Знайти ймовірності Р , Р , Р , Р , Р .

ЗАДАЧА 3

ЗАДАЧА 4

Кидають гральних кісток. Знайти математичне сподівання суми числа очок, які випадуть на всіх гранях.

ЗАВДАННЯ 18

ЗАДАЧА 1

В урні містяться a білих та b чорних кульок. З урни винімають наугад одну кульку. Знайти ймовірність того, що ця кулька – біла.

ЗАДАЧА 2

З партії в 5 деталей наугад взята одна деталь, яка оказалася бракованою. Кількість бракованих деталей рівноможливе і може бути будь-якою. Яке припущення про кількість бракованих деталей наівірогідне?

ЗАДАЧА 3

Посібник видано тиражем 100000 екземплярів. Імовірність того, що посібник видано з помилкою, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить рівно 15 бракованих посібників.

ЗАДАЧА 4

В урні містяться 5 білих, 4 чорних і 3 синіх кульки. Кожен іспит складається з того, що наугад виймають одну кульку, не повертаючи її в урну. Знайти ймовірність того, що при першому іспиті з’явиться біла кулька, при другому – чорна, а при третьому – синя.

ЗАВДАННЯ 19

ЗАДАЧА 1

Відділ технічного контролю виявив 5 бракованих деталей в партії з випадково відібраних 100 деталей. Знайти відносну частоту появи бракованих деталей.

ЗАДАЧА 2

В двох урнах знаходиться відповідно m та n білих кульок, а також i та j чорних кульок. З кожної урни наугад виймають одну кульку, а потім з цих двох кульок наугад беруть одну. Яка ймовірність, що ця кулька – біла?

ЗАДАЧА 3

Знайти ймовірність того, що подія A наступить рівно 80 разів в 400 іспитах, якщо ймовірність появи цієї події в кожному іспиті дорівнює 0,5.

ЗАДАЧА 4

ЗАВДАННЯ 20

ЗАДАЧА 1

Контейнер містить 10 однакових деталей, що позначені номерами 1, 2,..., 10. Наугад взято 6 деталей. Знайти ймовірність того, що серед взятих деталей з’явиться: а) деталь № 1; б) деталі № 1 та № 2.

ЗАДАЧА 2

Стрілець виконує один постріл в мішень, що утворена з центрального кола і двох концентричних кіл. Імовірності влучення в коло і два кола дорівнюють відповідно 0.20, 0.15 і 0.10. Визначити ймовірність невлучення в мішень.

ЗAДАЧА 3

Випадкова величина X з ймовірності 0,4 має нормальний розподіл з параметрами m = 0 та , а з імовірності 0,6 – нормальний розподіл з параметрами m = 2 та . Знайти густину розподілу випадкової величини X.

ЗАДАЧА 4

Неперервна випадкова величина X в інтервалі () задана густиною розподілу ймовірностей , (), понад цього інтервалу . Знайти ймовірність того, що X прийміть значення, що належить інтервалу (0, 2).

ЗАВДАННЯ 21

ЗАДАЧА 1

В партії з N деталей є n стандартних. Наугад відібрано m деталей. Знайти ймовірність того, що серед відібраних деталей з’явиться рівно k стандартних.

ЗАДАЧА 2

Є 3 контейнера, в кожному – по 10 деталей. В першому контейнері 8, в другому – 7, а в третьому – 9 стандартних деталей. З кожного контейнера наугад винімають по одною деталі. Знайти ймовірність того, що всі три витягнуті деталі з’являться стандартними.

ЗАДАЧА 3

Дано графік густини розподілу нормальної випадкової величини X. Написати вираз і побудувати графік для густини . Побудувати на цьому ж графіку густину розподілу випадкової величини Y = X + q, де q – стала величина.

ЗАДАЧА 4

Є 3 однакові на вигляд урни; в першої урні 2 білих і 1 чорних кульки; в другої – 3 білих і 1 чорних; в третьої – 2 білих і 2 чорних кульки. Наугад вибирають одну з урн а виймають з неї кульку. Знайти ймовірність того, що ця кулька – біла.

ЗАВДАННЯ 22

ЗАДАЧА 1

Диск, що швидко обертається, розділений на парну кількість рівних секторів, поперемінно пофарбованих в білий і чорний колір. По диску виконано постріл. Знайти ймовірність того, що пуля влучить в один з секторів білого кольору. Припускається, що ймовірність влучення пули в плоску фігуру пропорційна площі цієї фігури.

ЗАДАЧА 2

Імовірності влучення в ціль при стрільбі першої та другої гармати дорівнює відповідно: Р = 0,7; P = 0,8. Знайти ймовірність влучення при одному залпі (з обох гармат) хоча б однією з гармат.

ЗАДАЧА 3

Густина ймовірностей системи двох випадкових величин (X,Y) задана виразом . Визначити: а) коефіцієнт A; б) густини ймовірностей та відповідно величин X та Y; в) чи є випадкові величини X та Y залежними.

ЗАДАЧА 4

Знайти ймовірність того, що подія A з’явиться рівно 80 разів в 400 іспитах, якщо ймовірність появи цієї події в кожному іспиті дорівнює 0,2.

ЗАВДАННЯ 23

ЗАДАЧА 1

В групі M людин (M > 2). Вони випадково розсаджуються за круглим столом. Знайти ймовірність того, що дві фіксовані особи А і В опиняться рядом.

ЗАДАЧА 2

В урні знаходяться 30 кульок: 10 червоних, 5 синіх і 15 білих. Знайти ймовірність появи кольорової кульки.

ЗАДАЧА 3

Густина ймовірностей системи двох випадкових величин (X,Y) задана виразом . Визначити: а) коефіцієнт A; б) імовірність Р влучення величини (X,Y) в квадрат: ; в) функції розподілу , , ; г) густини розподілу ймовірностей та і залежність випадкових величин X і Y.

ЗАДАЧА 4

Неперервна випадкова величина X в інтервалі () задана густиною розподілу ймовірностей , (), понад цього інтервалу . Знайти ймовірність того, що X буде мати значення, що належить інтервалу (0, 3).

ЗАВДАННЯ 24

ЗАДАЧА 1

Імовірність появи події А, яка є рівноможливою в будь-який момент проміжку T, дорівнює p. Відомо, що за час t, (t < T) ця подія не мала місце. Визначити ймовірність Р того, що подія А відбудеться в проміжок часу, що залишився.

ЗАДАЧА 2

В урні знаходяться 5 червоних, 4 чорних і 3 синіх кульки. Кожен іспит складається з того, що наугад винімають одну кульку, не повертаючи її в урну. Знайти ймовірність того, що при першому іспиті появиться червона кулька, при другому – чорні і при третьому – синя.

ЗАДАЧА 3

Термін X безвідмовної роботи обладнування є величина випадкова и має таку інтегральну функцію розподілу ймовірностей . , . Знайти ймовірність безвідмовної роботи обладнування за час .

ЗАДАЧА 4

ЗАВДАННЯ 25

ЗАДАЧА 1

Виконуються 8 незалежних пострілів по резервуару з пальним, причому перший снаряд, що влучив, приводить до витоку пального, але не запалює його, а другий снаряд, що влучив, розпалює пальне. Імовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що резервуар буде запалений.

ЗАДАЧА 2

Деталі, що виготовлені в цеху, попадають для перевірки на стандартність к одному з двох контролерів. Імовірність того, що деталь попаде к першому контролеру, дорівнює 0,6, до другому – 0,4. Імовірність того, що виготовлена деталь буде признана стандартною першим контролером, дорівнює 0,92, а другим – 0,96. Виготовлена деталь при перевірці була признана стандартною. Знайти ймовірність того, що цю деталь перевіряв перший контролер.

ЗАДАЧА 3

Виконується 6 незалежних пострілів по цілі. Імовірність p влучення при кожному пострілі дорівнює 0,75. Знайти: а) ймовірність рівно 5 влучень; б) ймовірність не менш 5 влучень; в) ймовірність більш, ніж 3 промахів.

ЗАДАЧА 4

Є 2 контейнера з однотипними деталями; в першому a гідних деталі та b з дефектом, в другому c гідних та d з дефектом. Обирається наугад один контейнер і з нього винімається одна деталь. Ця деталь з’явилася гідною. Знайти ймовірність того, що наступна деталь, що буде винута з того ж контейнера, також буде гідною.

ЗАВДАННЯ 26

ЗАДАЧА 1

Миколай і Петро домовились зустрітися на автобусній станції між 8 та 9 годинами. Кожний, хто прийшов на станцію, чекає іншого не більш як 10 хвилин, а потім уходить. Знайти ймовірність зустрічі Миколая та Петра, припусками, що моменти їх прибуття є координатами точки, яка має рівномірний розподіл в квадраті [8,9] [8,9] (годин).

ЗАДАЧА 2

В урні знаходяться 5 білих, 4 чорних і 3 синіх кульки. Кожен іспит складається з того, що наугад виймають одну кульку, не повертаючи її в урну. Знайти ймовірність того, що при першому іспиті з’явиться біла кулька, при другому – чорна і при третьому – синя.

ЗАДАЧА 3

За даними ремонтної майстерні в середньому з 100 відмов телевізорів 50% обумовлено виходом зі строю електронних ламп, 15% – конденсаторів, 12% – резисторів, 5% – кінескопа, а інші відмови обумовлені іншими причинами. Знайти ймовірність Р відмови телевізорів з-за інших причин.

ЗАДАЧА 4

Деталі, що виготовлені в цеху, попадають для перевірки на стандартність к одному з двох контролерів. Імовірність того, що деталь попаде к першому контролеру, дорівнює 0,6, до другому – 0,4. Імовірність того, що виготовлена деталь буде признана стандартною першим контролером, дорівнює 0,94, а другим – 0,98. Виготовлена деталь при перевірці була признана стандартною. Знайти ймовірність того, що цю деталь перевіряв перший контролер.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ

1. Какие задачи рассматривает теория вероятностей?

2. Раскройте понятие случайного события.

3. Поясните содержание вероятности события.

4. Раскройте понятие случайной величины, детерминированной величины.

5. Предложите классификацию случайных величин, раскройте понятие дискретных и непрерывных случайных величин.

6. Назовите способы задания и описания случайных величин.

7. Сформулируйте аксиомы теории вероятностей.

8. Постройте практический пример суммы двух случайных событий, трёх случайных событий.

9. Постройте практический пример умножения двух случайных событий, трёх случайных событий.

10. Постройте практический пример набор случайных событий, которые образуют полную группу.

11. Дайте интерпретацию вероятности полной группы событий.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ

1. Сформулируйте основные теоремы теории вероятностей.

2. Раскройте значение основных теорем теории вероятностей.

3. Сформулируйте понятие суммы и умножения случайных событий.

4. Поясните содержание теоремы сложения вероятностей.

5. Поясните содержание теоремы умножения вероятностей.

6. Сформулируйте содержание формулы полной вероятности.

7. Сформулируйте содержание понятия гипотезы.

8. Дайте интерпретацию формулы Байеса.

9. Поясните содержание понятий априорная вероятность и апостериорная вероятность.

10. Дайте интерпретацию теоремы о повторении опытов.

11. Постройте практический пример применения формулы Бернулли.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ

1. Сформулируйте основные законы распределения случайных величин.

2. Поясните суть ряда распределения.

3. Поясните суть функции распределения.

4. Раскройте смысл вероятности попадания случайной величины на заданный участок.

5. Раскройте смысл плотности распределения случайной величины.

6. Перечислите основные числовые характеристики распределения случайных величин.

7. Раскройте смысл моментов распределения вероятностей.

8. Дайте интерпретацию дисперсии, моды, медианы, среднеквадратичного уклонения.

9. Раскройте смысл характеристической функции распределения вероятностей случайной величины.

10. Перечислите основные свойства закона равномерной плотности на интервале.

11. Перечислите основные свойства закона Пуассона.

12. Перечислите основные свойства экспоненциального распределения.

13. Постройте примеры применения известных законов распределения на практике.

14. В каком отношении связаны закон Пуассона и экспоненциальное распределение?

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ

1. Дайте формулировку нормального закона распределения.

2. Назовите основные свойства нормальной случайной величины.

3. Перечислите параметры нормального закона.

4. Приведите выражения для моментов нормального распределения.

5. Поясните суть вероятности попадания нормальной случайной величины на заданный участок.

6. Поясните суть правила "трех сигм".

7. Перечислите основные свойства функции Лапласа.

8. Практическое применение нормального закона.

9. Перечислите основные свойства функции ошибок , дополнительной функции ошибок .

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ

1. Раскройте смысл понятия системы случайных величин.

2. Раскройте смысл функции распределения и плотности распределения системы двух случайных величин.

3. Поясните суть условных законов распределения.

4. Поясните суть зависимых и независимых случайных величин.

5. Перечислите числовые характеристики системы случайных величин.

6. Раскройте смысл коэффициента корреляции.

7. Сформулируйте нормальный закон распределения для системы случайных величин.

8. Сопоставьте нормальный закон на плоскости и нормальный закон в пространстве.

9. Раскройте смысл эллипса рассеяния двумерной нормальной величины.

10. Сформулируйте многомерный нормальный закон распределения для системы случайных величин.

11. Сформулируйте закон Релея.

12. Сформулируйте закон Релея–Райса.

13. Сформулируйте закон арксинуса.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ

1. Сформулируйте закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента.

2. Сформулируйте закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента.

3. Сформулируйте теорему сохранения дифференциальной вероятности.

4. Раскройте содержательный смысл композиции законов распределения.

5. Сформулируйте закон распределения суммы двух случайных величин.

6. Сформулируйте закон распределения разности двух случайных величин.

7. Сформулируйте закон распределения композиции нормальных законов.

8. Укажите свойства результата линейного преобразования нормальной случайной величины.

9. Сформулируйте закон Симпсона (треугольное распределение).

10. Укажите свойства закона .

11. Укажите свойства распределения Стьюдента.

12. Укажите свойства распределения Эрланга.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ

1. Укажите роль предельных теорем теории вероятностей.

2. Сформулируйте закон больших чисел.

3. Сформулируйте центральную предельную теорему теории вероятностей.

4. Раскройте содержательный смысл неравенства Маркова.

5. Раскройте содержательный смысл неравенства Чебышева.

6. Раскройте содержательный смысл теоремы Ляпунова.

7. Предложите интерпретацию теоремы Я.Бернулли.

8. Раскройте содержательный смысл теоремы Лапласа.

9. Постройте пример практического применения центральной предельной теоремы теории вероятностей.

Сумской Государственный Университет

Кафедра моделирования сложных систем

З а д а н и я

по дисциплине

“Теория вероятностей и математическая статистика”

(пятый семестр)

МОДУЛЬ 1

Сумы – 2008

Задания по дисциплине “Теория вероятностей и математическая статистика” для студентов механико-математического факультета очной формы обучения – Модуль 1.

Составитель – проф. Мазманишвили А.С., профессор кафедры моделирования сложных систем.

Утверждено на заседании кафедры моделирования сложных систем СумГУ (протокол № 8 от 28.05.2008 г.)

ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАЧА 1

В урне a белых и b черных шариков. Из урны взяли один шарик и (не глядя на него), отложили в сторону. Этот шарик оказался белым. После этого из урны берут еще один шарик. Найти вероятность того, что этот шарик тоже будет белым.

ЗАДАЧА 2

Имеется 3 урны: в первой a белых шариков и b черных; во второй c белых шариков и d черных; в третьей k белых шариков (черных нет). Выбрана наугад урна и вынут из неё один шарик. Он выявился белым. Найти вероятность того, что этот шарик из первой, второй или третей урны.

ЗАДАЧА 3

Написать закон распределения дискретной случайной величины X – числа появлений "герба" при двух бросаниях монеты.

ЗАДАЧА 4

В круге плотность распределения системы (X,Y) следующая: ; вне круга . Найти: а) постоянную A; б) вероятность попадания случайной точки (X,Y) в круг радиусом r = 1 с центром в начале координат, если R = 2.

ЗАДАНИЕ 2

ЗАДАЧА 1

В урне a белых и b черных шариков. Из урны взяли один шарик и (не глядя) отложили в сторону. После этого из урны взяли еще один шарик. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шарик – тоже белый.

ЗАДАЧА 2

Три стрелка независимо выполнили по одному выстрелу. Две пули попали в мишень. Найти вероятность того, что в мишень попал третий стрелок, если вероятности попадания первым, вторым и третьим стрелком соответственно равняются 0,6, 0,5 и 0,4.

ЗАДАЧА 3

Однотипные детали в зависимости от точности изготовления различаются по форме как круглые и овальные, а по весу – как легкие и тяжелые. Вероятности того, что взятая наугад деталь окажется круглой и легкой, овальной и легкой, круглой и тяжелой, овальной и тяжелой, соответственно равны , , и . Найти математические ожидания и дисперсии: а) числа круглых деталей X; б) числа легких деталей Y; в) коэффициент корреляции между числом круглых и числом легких деталей, если = 0.40; = 0,05; = 0,10.

ЗАДАЧА 4

Две точки выбраны наугад на смежных сторонах прямоугольника со сторонами a и b. Найти математическое ожидание расстояния L между этими точками.

ЗАДАНИЕ 3

ЗАДАЧА 1

В урне a белых и b черных шариков. Из урны вынимают один за другим все шарики, кроме одного. Найти вероятность того, что последний шарик, оставшийся в урне, будет белым.

ЗАДАЧА 2

При въезде в квартиру включили в осветительную сеть 2 k новых электрических лампочек. Каждая лампочка за год перегорает с вероятностью r. Найти вероятность события: А = { за год не менее половины исходно подключенных лампочек будет необходимо заменить новыми }.

ЗАДАЧА 3

На отрезок длиной L наугад брошены две точки. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния S между ними.

ЗАДАЧА 4

Случайные величины X и Y связаны соотношением p X + q Y = c, где p, q и c – неслучайные величины, причем и . Найти: а) коэффициент корреляции ; б) отношение среднеквадратических отклонений .

ЗАДАНИЕ 4

ЗАДАЧА 1

Из урны, в которой a белых и b черных шариков, вынимают наугад шарики. Найти вероятность того, что второй в очереди шарик будет белым.

ЗАДАЧА 2

В лотерее N билетов, из которых L выигрышных. Куплено K билетов. Определить вероятность того, что выиграет хотя бы один билет.

ЗАДАЧА 3

На окружность радиусом R с центром в начале координат наугад брошена точка. Найти математическое ожидание площади S квадрата со стороной, равной абсциссе этой точки.

ЗАДАЧА 4

Независимые случайные величины X и Y распределены по закону Гаусса с параметрами , , , . Написать выражение для плотности вероятностей системы случайных величин (X,Y).

ЗАДАНИЕ 5

ЗАДАЧА 1

На пяти одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Вынимаются наугад одна за одной две карточки. Найти вероятность следующих событий: а) сумма цифр на вынутых карточках – нечетное число; б) вторая цифра меньше первой; в) вторая цифра больше первой ровно на единицу.

ЗАДАЧА 2

Монету подбрасывают 5 раз. Найти вероятность того, что "герб" выпадет: а) менее 2 раз; б) не менее 2 раз.

ЗАДАЧА 3

Мгновенные значения амплитуды X принимаемого сигнала описываются распределением Релея , . Вычислить среднее значение и дисперсию случайной величины X.

ЗАДАЧА 4

Длительность X безотказной работы некоторого устройства есть величина случайная и имеет следующую интегральную функцию распределения вероятностей . , . Найти вероятность безотказной работы устройства за время .

ЗАДАНИЕ 6

ЗАДАЧА 1

Из колоды в 52 карты вынимают одновременно три карты. Найти вероятность того, что среди вынутых карт найдётся хотя бы одна красной масти.

ЗАДАЧА 2

В урне 2 белых и 3 черных шарика. Два игрока по очереди вынимают из урны по шарику, не возвращая их назад. Выиграют тот, кто раньше получит белый шарик. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.

ЗАДАЧА 3

Плотность вероятности двумерной случайной величины (X,Y) определяется формулой , . Определить: математические ожидания и ; дисперсии D[X] и D[Y] случайных величин X и Y; корреляционную и нормированную корреляционную матрицы.

ЗАДАЧА 4

Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,7.

ЗАДАНИЕ 7

ЗАДАЧА 1

В партии триодов имеется n стандартных и m бракованных. При контроле выявилось, что первые k триоды стандартные. Определить вероятность P того, что следующий триод будет стандартным.

ЗАДАЧА 2

Из чисел 1,2,…, n одно за другим выбирают наугад два числа. Какая вероятность того, что разница между первым выбранным числом и другим будет не менее m (m > 0)?

ЗАДАЧА 3

Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами , . Как изменится плотность распределения вероятностей , если параметры примут значения , ?

ЗАДАЧА 4

Непрерывная случайная величина X в интервале () задана плотностью распределения вероятностей , (), вне этого интервала . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (1, 2).

ЗАДАНИЕ 8

ЗАДАЧА 1

Четырёхтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Найти вероятность того, что тома расположены в правильном порядке справа налево или слева направо.

ЗАДАЧА 2

На железнодорожной станции пассажир получает сейф (индивидуальная камера хранения багажа). Этот сейф открывается только при наборе некоторого трёхзначного шифра (например: 253, 009, 325 и т.д.). Пассажир набрал шифр, закрыл сейф и ушел. Сторонний человек, который не знает шифра, пытается открыть сейф, набирая три цифры наугад (при этом, естественно, неудачные комбинации не повторяются). Найти вероятности событий:

A = {сейф откроется с первой попытки};

B = {сейф откроется после k попыток}.

ЗАДАЧА 3

ЗАДАЧА 4

Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.

ЗАДАНИЕ 9

ЗАДАЧА 1

Набирая номер телефона, абонент забыл две последний цифры. Но он помнит, что эти цифры разные, и набрал их наугад. Определить вероятность Р того, что набраны нужные цифры.

ЗАДАЧА 2

Вероятность того, что в электрической цепи напряжение превысит номинальное значение, равна p. При повышенном напряжении вероятность аварии прибора–потребителя электрического тока равняется q. Определить вероятность аварии прибора вследствие повышения напряжения.

ЗАДАЧА 3

Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

ЗАДАЧА 4

При испытаниях 1000 случайно подобранных резисторов за некоторое время обнаружилось, что относительная частота исправных резисторов равна 0,95. Определить число исправных резисторов.

ЗАДАНИЕ 10

ЗАДАЧА 1

На поверхности сферы берут наугад две точки и соединяют их малой дугой большого круга. Найти вероятность того, что размер дуги не превысит радиан.

ЗАДАЧА 2

Сообщение, передаваемое по каналу связи, состоит из n знаков (символов). При передаче каждый знак искажается (независимо от остальных) с вероятностью p. Для надежности сообщение дублируется (повторяется k раз). Найти вероятность того, что хотя бы одно из переданных сообщений не будет искажено ни в одном знаке.

ЗАДАЧА 3

В урне находятся 3 белых, 4 черных и 5 синих шарика. Каждое испытание состоит из того, что наугад вынимают один шарик, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шарик, при втором – черный и при третьем – синий.

ЗАДАЧА 4

На соревнованиях выполняются 4 независимых выстрела в одинаковых условиях, причем вероятность попадания при каждом выстреле равняется p = 0,20. Найти вероятности Р , Р , Р , Р , Р .

ЗАДАНИЕ 11

ЗАДАЧА 1

Наугад выбрано целое четырёхзначное число. Определить вероятность того, что в этом числе: а) все цифры разные; б) имеются только две одинаковые цифры; в) имеются две пары одинаковых цифр; г) имеются только три одинаковые цифры.

ЗАДАЧА 2

Имеется урн, в каждой из которых белых и черных шариков, и урн, содержащих по белых и черных шариков. Вытащенный из выбранной наугад урны один шарик оказался белым. Какая вероятность, что данный шарик вытянут из первой группы урн?