Определение опорных реакций

На схеме показываем опорные реакции R₁ , H, R₂. Вертикальные реакции направляем вверх и записываем уравнения равновесия:

Проверим правильность вычислений, составив еще одно уравнение равновесия:

Условие равновесия удовлетворяется, реакции определены правильно.

2. Построение эпюры Q

Мысленно разбиваем балку на участки. Границами участков являются сечения, в которых к балке приложены сосредоточенные силы или пары сил, начинаются или заканчиваются распределенные нагрузки, имеются промежуточные шарниры. В рассматриваемой балке граничными сечениями будут сечения A, B, C и D. Для каждого из трех участков запишем аналитическое выражение Q (x).

Участок AB, 0 < x < a. Рассмотрим произвольно выбранное сечение с абсциссой x. Рассекая балку в этом сечении на две части и отбросив правую часть, вычисляем алгебраическую сумму проекций на ось y всех сил, действующих на оставшуюся часть:

 

Поперечная сила не зависит от переменной x на протяжении всего участка, следовательно, эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси абсцисс. Отложив от оси эпюры вверх в выбранном масштабе 0,5qa (рис. 18), строим эпюру на этом участке.

Участок BC, a < x < 2 a. Алгебраическая сумма проекций всех сил на ось y слева от сечения с абсциссой x

Полученное выражение является уравнением наклонной прямой, которая может быть построена по двум лежащим на ней точкам. Для ее построения найдем значения поперечной силы на границах участков балки

Участок CD, 2 a < x < 3 a. Поперечная сила на расстоянии x от начала координат

Так как поперечная сила не зависит от переменной x, на последнем участке эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси балки (см. рис. 18).

3. Построение эпюры M_z

Аналитическое выражение для вычисления изгибающего момента в сечении x необходимо записать для каждого участка балки.

Участок AB:

На этом участке балки изгибающий момент возрастает по линейному закону и эпюра M_z ограничена наклонной прямой. Вычисляя его значения в сечениях на границах участка, строим в масштабе (рис. 18) эпюру M_z на сжатом волокне

Участок BC:

Полученное уравнение является уравнением квадратной параболы и, поскольку поперечная сила Q на участке BC не изменяет знак, экстремума на эпюре M_z не будет.

Определим изгибающий момент на границах участка:

Полученное уравнение является уравнением квадратной параболы и, поскольку поперечная сила Q на участке BC не изменяет знак, экстремума на эпюре M_z не будет.

Определим изгибающий момент на границах участка:

Отложив вверх от оси балки найденные значения, проводим квадратную параболу выпуклостью вверх (навстречу вектору усилия равномерно распределенной нагрузки).

Участок CD:

В пределах последнего участка балки (2 a < x < 3 a) изгибающий момент линейно зависит от абсциссы x, и эпюра ограничена прямой линией.

При при

Эпюры Q и M_z показаны на рис. 18.

Рисунок 18 – Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

По эпюре M_z находим опасное сечение балки - сечение, в котором изгибающий момент максимален по абсолютной величине. Для заданной балки изгибающий момент в опасном

сечении = M_z(2a)=1,5qa² или после подстановки числовых значений .

Из условия прочности определим требуемый момент сопротивления сечения

Номер двутавра находим по расчетному значению момента сопротивления W_z, используя таблицы сортамента прокатной стали.

Внимание! В таблицах сортамента прокатной стали (см. приложение) оси z соответствует ось x, это означает, что .

Наиболее близок к требуемому момент сопротивления двутавра №14, равный W_x = 81,7 см³. Выбрав это сечение, определяем нормальные напряжения в поперечном сечении балки:

Подбираем прямоугольное сечение, момент сопротивления которого определяется с учетом того, что h = 2b:

Отсюда

Круглое поперечное сечение имеет момент сопротивления

Диаметр круга

Рассмотрим второй метод построения эпюр внутренних усилий, действующих в сечениях балки. Он состоит в том, что поперечные силы и изгибающие моменты вычисляются на границах участков без записи уравнений Q(z), M(z), а соответствующие эпюры строятся на основании дифференциальных зависимостей между Q, M, q:

(5.3)

Зависимости (5.3) позволяют установить следующие характерные особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:

· На участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси балки, а эпюра M - наклонными прямыми.

· На участках, где приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра M - квадратными параболами, выпуклость которых направлена навстречу вектору равномерно распределенной нагрузки.

· На участках, где Q > 0, изгибающий момент возрастает; если Q < 0 - изгибающий момент убывает.

· В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q будут скачки на величину приложенных сил, а на эпюре M - переломы, острие которых направлено против действия этих сил.

· В сечениях, где к балке приложены пары сил (сосредоточенные моменты), на эпюре M будут скачки на величину этих моментов.

· Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка и эпюра Q в пределах участка изменяет знак, то в сечении, где Q = 0, на эпюре M_z будет экстремум.

Примеры использования дифференциальных зависимостей при расчете балок приводятся ниже.

Рассмотрим задачу подбора сечения балки, изготовленной из хрупкого материала. Балка (рис. 19) изготавливается из чугуна и имеет сечение, показанное на рис. 21.

Требуется определить из расчета на прочность по допускаемым напряжениям размеры поперечного сечения, если материал балки - чугун с допускаемым напряжением на сжатие [ σ ] _сж= 700 МПа и на растяжение [ σ ] _р = 140 МПа; a = 1 м; q = 10 кН/м.

Рисунок 19 – Расчетная схема чугунной балки

Для нахождения опасного сечения строим эпюры M и Q. Очевидно, что данная балка имеет три участка:

AB (0 ≤ x ≤ a), BC (a ≤ x ≤ 2a), CD (2a ≤ x ≤ 3a).

Для того чтобы не вычислять опорные реакции, рассмотрим балку, начиная с участка AB. Найдем поперечную силу и изгибающий момент в начале этого участка. Мысленно рассечем балку в сечении A на две части и отбросим правую ее часть. Слева на оставшуюся часть действует только сосредоточенная сила, равная 2qa. Проектируя эту силу на нормаль к оси балки, получаем

Q (0) = 2qa.

Рассекая балку в сечении B и поступая аналогично, находим величину поперечной силы в этом сечении - она равна алгебраической сумме проекций сил, действующих на оставшуюся левую часть балки, на нормаль к ее оси:

Q (a) = 2qa - qa = qa,

где

2qa - проекция сосредоточенной силы на нормаль к оси балки;

qa - проекция равнодействующей распределенной нагрузки.

Изгибающий момент в начале первого участка M (0) = 0; в конце участка он равен алгебраической сумме моментов относительно точки B от сосредоточенной силы 2qa и распределенной нагрузки:

Строим эпюры Q и M_z для первого участка балки.

Выбрав масштаб, откладываем вверх от оси эпюр (Q и M_z положительны!) найденные значения поперечных сил и изгибающих моментов. На эпюре Q соединяем прямой линией точки с координатами (0, 2 qa) и (a, qa), а на эпюре M_z проводим квадратную параболу выпуклостью вверх через точки (0, 0) и (a, 1,5 qa²).

Поступая аналогично, вычисляем поперечные силы и изгибающие моменты в начале и конце участков BC и CD.

Участок BC: ;

Q (a) = qa, Q (2a) = qa;

M (a) = 1,5 qa², M (2a) = 2,5 qa².

Отложив вверх вычисленные значения Q и M, строим эпюры внутренних усилий на втором участке балки. Как следует из дифференциальных зависимостей, эти эпюры ограничены прямыми линиями.

Участок CD: ;

Q (2a) = qa, Q (3a) = qa;

M (2a) = 4,5 qa², M (3a) = 5,5 qa².

В начале последнего участка к балке приложена пара сил, что вызывает появление скачка на эпюре изгибающих моментов. На участке CD распределенной нагрузки нет, поэтому эпюры Q, M_z ограничены прямыми линиями (рис. 20).

Окончательный вид эпюр Q, M_z показан на том же рисунке.

Рисунок 20 – Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Опасное сечение находится в заделке и расчетный изгибающий момент = 5,5 qa² = Н*м = Н*м = 55 кН*м.

Для определения размеров поперечного сечения необходимо найти из условия прочности балки осевой момент сопротивления относительно его нейтральной оси.

Заданное сечение (рис. 21) имеет ось симметрии, и для определения положения его центра тяжести достаточно вычислить только одну его координату - ординату у _с.

Разобьем заданную фигуру на две простые части: прямоугольник (1) и полукруг (2). В качестве исходных осей принимаем главные центральные оси прямоугольника y₁ , z₁ . Тогда ордината центра тяжести всей фигуры определится по формуле

Определив положение центра тяжести, проводим главные центральные оси Y, Z составной фигуры.

Рисунок 21 – Поперечное сечение чугунной балки

Вычисляем момент инерции заданного сечения относительно главной центральной оси Z (При рассмотрении полукруга, главная центральная ось инерции которого z₂, использованы приближенные значения ):

При расчете на прочность балок, изготовленных из хрупких материалов, для сечений с одной осью симметрии необходимо вычислять два момента сопротивления относительно оси Z:

Из эпюры изгибающих моментов (рис. 20), построенной на сжатом волокне, следует, что в опасном сечении верхние волокна балки сжаты, а нижние растянуты. Условие прочности для опасных точек в растянутой зоне сечения имеет вид

Отсюда t = 0,043 м = 4,3 см.

Опасной точкой в сжатой зоне является точка, наиболее удаленная от оси z на расстояние Условие прочности балки по допускаемым напряжениям на сжатие

Отсюда t = 0,026 м = 2,6 см.

В расчете по нормальным напряжениям из двух найденных значений t принимаем большее (t = 4,3 см), что обеспечивает прочность материала балки как в растянутой, так и в сжатой зонах.

Рассмотрим пример подбора составного сечения стальной балки.

Для балки (рис. 22) подобрать сечение, состоящие из двух стальных швеллеров.Пусть а = 1 м; q = 10 кН/м; [ σ ] = 190 МПа.

Рисунок 22 – Расчетная схема балки

Определяем опорные реакции:

Отметим, что момент распределенной нагрузки относительно опоры B равен нулю, а реакция второй опоры направлена не вверх, как показано на рис. 22, а вниз.

Проверка правильности вычисления опорных реакций:

Реакции определены правильно.

Эпюры Q, M_z строятся аналогично эпюрам предыдущего примера. Вид эпюр показан на рис. 23.

 

Рисунок 23 – Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

По эпюре M_z находим величину изгибающего момента, максимального по модулю

Сечение балки подбираем из условия прочности при изгибе. Требуемый момент сопротивления сечения, состоящего из двух швеллеров

Осевой момент сопротивления одного швеллера будет в два раза меньше -

По таблице сортамента прокатной стали находим, что ближайший подходящий момент сопротивления имеет швеллер № 12, для которого W_z = W_x = 50,6 см ³. Швеллер № 10 с осевым моментом сопротивления 34,8 см ³ принять нельзя, так как в этом случае момент сопротивления сечения, составленного из двух швеллеров, будет равен 69,6 см ³ < 79 см ³ и напряжения в балке превысят допускаемые на 13 %, что неприемлемо (в расчетах допускается перенапряжение ≤ 5%).