Теорема умножения для зависимых событий

Теорема. Если события А и В являются зависимыми, то вероятность их произведения равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого

P (AB) = P (A) · P_A(B).

Пример. В конверте лежало 4 открытки с видами Петербурга и 3 открытки с видами Москвы. Пусть событие А – извлечение первый раз видов Петербурга, событие В - извлечение первый раз видов Москвы. Пусть событие С состоит в том, что вначале вытащили вид Петербурга, затем вид Москвы. Тогда событие С по определению умножения равно А·В. Очевидно, что в данном случае события А и В зависимы. Покажем это.

1) Если вначале извлекут вид Петербурга Р(А) = , то вероятность того, что затем извлекут вид Москвы Р(В) = (по классическому определению вероятности).

2) Если же вначале извлекут вид Москвы, то вероятность того, что второй раз извлекут вид Москвы, будет равна . Зависимость более чем очевидна.

Значит нужно воспользоваться теоремой о формуле произведения зависимых событий, т.е. Р(С) = P (A) · P_A(B). Таким образом, Р(С) = .

Пример. В читальном зале имеется 6 учебников по информатике, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события:
А₁ - первый взятый учебник в переплете;
A₂ - второй взятый учебник в переплете.

Событие A = A₁ · A₂, состоит в том, что оба взятых учебника в переплете. События А₁ и А₂ являются зависимыми, так как вероятность наступления события А₂ зависит от наступления события А₁. Поэтому, для вычисления вероятности воспользуемся формулой произведения зависимых событий.

Вероятность наступления события А₁ в соответствии с классическим определением вероятности:

P (А₁) = m / n = 3/6 = 0,5.

P _А1 (А₂) определяется как условная вероятность наступления события А₂ при условии, что событие А₁ уже наступило:

P _А1 (А₂) = 2/5 = 0,4.

Тогда искомая вероятность наступления события А:

P (А) = 0,5 · 0,4 = 0,2.

8. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример. А - появление четырех очков при бросании игральной кости; В - появление четного числа очков. Событие А и В - совместны.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).

Пример. Два студента читают книгу. Первый студент дочитает книгу с вероятностью – 0,6; второй – 0,8. Найти вероятность того, что книга будет прочитана хотя бы одним из студентов.

Решение. Вероятность того, что книга будет прочитана каждым из студентов не зависит от результата отдельно взятого студента, поэтому события А (первый студент дочитал книгу) и B (второй студент дочитал книгу) независимы и совместны. Искомую вероятность находим по формуле сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность события АB (оба студента дочитали книгу):

P (AB) = P (A) · P (B) = 0,6 · 0,8 = 0,48.

Тогда

P (A + B) = 0,6 + 0,8 - 0,48 = 0,92.

Пример. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).

Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.

Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.

Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48.

Пример. В школе 1400 учеников, из них 1200 учеников умеют кататься на лыжах, 952 ученика умеют кататься на коньках. Не умеют кататься ни на лыжах, ни на коньках 60 учеников. Какова вероятность, что ученик умеет кататься и на лыжах, и на коньках?

Обозначим Е – все ученики данной школы. Пусть событие А – умение учеников кататься на лыжах. Событие В – умение учеников кататься на коньках. Событие АВ – умение учеников кататься и на лыжах и на коньках. Событие А+В – умение учеников кататься или на лыжах, или на коньках.

Т.к. 60 учеников не умеют кататься ни на лыжах, ни на коньках, то учеников, которые умеют кататься или на лыжах, или на коньках 1400 – 60 = 1340. Тогда Р(А) = , Р(В) = ; Р(А+В) = . Но

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Тогда Р(АВ) = Р(А) + Р(В) – Р(А+В). Так как события А и В – зависимые со бытия, то Р(АВ) = .

9. Формула полной вероятности.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий В₁, В₂, …, В_n которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Р(А) = Р(В₁) · Р_В1(А) + Р(В₂) · Р_В2(А) + … + Р(В_n) · Р_В_n(А).

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30%, второго - 50%, третьего - 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Пусть событие В₁ состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, В₂ - на втором, В₃ - на третьем заводе. Очевидно:

P(В₁) = , P(В₂) = , P(В₃) = .

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; Р_В1(А) означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из ламп, произведенных на первом заводе, Р(В₂) – на втором заводе, Р(В₃) – на третьем заводе. Из условия задачи следует:

Р_В1(А) = ; Р_В2(А) = ; Р_В3(А) = .