Противоположные события

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .

Пример. Если при бросании кости событие А состоит в выпадении 6, то противоположное событие – это невыпадение 6, т.е. выпадение 1, 2, 3, 4 или 5.

Пример. Если А - число четное, то - число нечетное; если А - зима, то - не зима (либо осень, либо лето, либо весна); если А - сдал экзамен, то - не сдал экзамен.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Р(А) + Р() = 1 или Р(А) = 1 – Р().

Пример. Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей на них выпадает разное (не одинаковое) число очков?

Обозначим описанное событие А. Противоположным событием является событие , состоящее в том, что на обеих костях выпало одинаковое число очков. Событию   благоприятствуют шесть элементарных событий: (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Вероятность каждого из этих элементарных событий . Значит, Р() = . Тогда Р(А) = 1 – Р()= 1 - .

6. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет.

Пример. Монета брошена два раза. Событие А – выпал «герб» при первом броске, событие В – выпал «герб» при втором броске. События А и В независимы.

События А и В  называются зависимыми, если вероятность наступления одного из них зависит от того, произошло или нет другое событие.

Если вероятность события В  вычисляется в предположении, что событие А уже произошло, то такая вероятность называется условной вероятностью события В по отношению к событию А. Обозначение: Р_А(В).

Пример. В конверте лежало 4 открытки с видами Петербурга и 3 открытки с видами Москвы. Пусть событие А – извлечение открытки с видами Петербурга, событие В – извлечение открытки с видами Москвы. Рассмотрим вероятности. Связанные с этими событиями.

1. Если открытка извлечена только в начале один раз, то Р(А) = , Р(В) = .

2. Если две открытки последовательно извлекаются из конверта без возврата в него, то:

а) если сначала вытащили открытку с видом Петербурга, а затем с видом Москвы, то Р_А(В) = ;

б) если сначала вытащили открытку с видом Москвы, а затем с видом Петербурга, тогда Р_В(А) = .

7. Произведение вероятностей.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Пример. Пусть А - из урны вытянули белый шар, B - из урны вытянули белый шар, тогда АВ - из урны вытянули два белых шара; если А - идет дождь, B - идет снег, то АB - дождь со снегом; А - число четное, B - число кратное 3, тогда АB - число кратное 6.