Теоретический справочник

Тема: «Неравенства»

Содержание:                                                                                                     стр.

1. Общий теоретический справочник ………………………………….. 1

2. «Алгебраические неравенства» ……………………………………….. 2

3. «Неравенства с модулем» ……………………………………………… 5

4. «Иррациональные неравенства» ……………………………………… 7

5. «Показательные и логарифмические неравенства» ………………… 9

6. «Уравнения и неравенства смешанного типа» ……………………… 12

Общий теоретический справочник

Определение: Неравенством с переменной называется выражение вида:         

                        f (x) < g (x), f (x) £ g (x), f (x) > g (x), f (x) ³ g (x)

Замечания.  

• Допустимые значения неизвестных (ОДЗ) неравенства не обязательно удовлетворяют неравенству, но решения неравенства обязательно входят в ОДЗ.
• Преобразование входящих в неравенства выражений, не должно сужать ОДЗ, так как могут быть потеряны решения неравенств.
• Преобразование входящих в неравенства выражений, не должно расширять ОДЗ, так как могут быть приобретены лишние решения неравенств. В случае расширения ОДЗ надо сразу вводить необходимые ограничения на неизвестную величину.

Решение неравенств

Решение неравенств основано на теоремах равносильности неравенств:

1. Если выражение h (x) имеет смысл в ОДЗ неизвестных, входящих в неравенство

f (x) > g (x), то при всех ОДЗ:

• при прибавлении или вычитании выражения h (x) к обеим частям неравенства знак неравенства не изменится, т.е. ;
• при умножении частей неравенства на выражение h (x)>0 знак неравенства не изменится, т.е. ;
• при умножении частей неравенства на выражение h (x) <0 знак неравенства меняется на противоположный, т.е. .
1. В ОДЗ неизвестных, входящих в неравенство , обе части неравенства можно

возводить:

• в нечетную степень во всей ОДЗ неизвестных, т.е.                                                          ;
• в четную степень на той части ОДЗ неизвестных, где обе части неравенства положительные, т.е.

, ОДЗ = .

1. Дробно-рациональное неравенство  равносильно рациональному неравенству

 при условии, что , т.е.

, ОДЗ = .

Занятие: «Алгебраические неравенства»

Теоретический справочник

Определение.  Неравенство вида , , ,  называют алгебраическим неравенством с переменной, где - многочлен.

       Решение алгебраического неравенства состоит в исследовании знака многочлена на ОДЗ неизвестных, разложив многочлен на множители канонического вида, т.е.

, где  - корни одночленов, - трехчлены с отрицательным дискриминантами, s, t – соответственно кратность корней одночленов и трехчленов. Так как дискриминант трехчлена D <0, то  во всей ОДЗ неизвестных и поэтому исследовать надо только произведение одночленов вида , используя метод интервалов.

Метод интервалов: 

                                                                Þ

                                                                     Þ

Линейные неравенства:

Квадратные неравенства:           

1.                Дискриминант: . 

· Если D <0 Þ x Î Æ,          

· Если D = 0 Þ ,      

· если D> 0 Þ , где

2.           Дискриминант:

• Если D <0 Þ x Î ,      
• Если D = 0 Þ ,                  
• Если D> 0 Þ , где

Рациональные неравенства: