Области устойчивости систем автоматического управления. Метод D-разбиения

В современных автоматизированных электрических системах необходимо определить не только устойчивость систем регулирования, что является задачей анализа, но и значения настроечных параметров регуляторов, обеспечивающих устойчивость системы при различных режимах ее работы, что является задачей синтеза. В большинстве случаях это относится к настройкам коэффициентов регулирования возбуждения СГ, релейной защиты, системной автоматики. Методика определения областей устойчивости в плоскости настраиваемых параметров, входящих в коэффициенты характеристического уравнения САР, предложена советским ученым Ю. И. Неймарком в 1948 г.

Рассмотрим на простом примере области устойчивости в плоскости коэффициентов характеристического уравнения 2-го порядка

Его корни

Оба корня будут иметь отрицательную вещественную часть только тогда, когда с₁ > 0, с₂ > 0.

 

Рис 13.2. D-разбиение пространства коэффициентов характеристического уравнения

 

На рис.13.2 представлено отображение пространства коэффициентов характеристического уравнения в пространство комплексной плоскости его корней. Пространство с заштрихованными осями − это пространство значений коэффициентов с₁, с₂, при которых система устойчива (окрашена только часть этой пространства). Ему соответствует пространство в комплексной плоскости с отрицательными вещественными частями корней характеристического уравнения. На рисунке это соответствие обозначено стрелкой а. Пространство коэффициентов, с отрицательными значениями с ₁ и с ₂ – пространство неустойчивости. Граница между устойчивостью и неустойчивостью системы – D-разбиение − это линии координат с ₁ и с ₂, а ее отображение в плоскости корней – мнимая ось j. На рисунке это соответствие обозначено стрелкой b.

D-разбиение по одному параметру

При разбиении пространства по одному параметру характеристическое уравнение записывается в виде

,

откуда

.

Приняв , найдем

Изменяя ω от − ∞ до + ∞, построим в плоскости коэффициента k кривую, отображающую мнимую ось плоскости корней р на плоскость k.

Правило штриховки.  При перемещении вдоль кривой D-разбиения от значения ω = −∞ к ω = + ∞ ее следует штриховать слева.

Пример. Характеристическое уравнение:

 

 

 

Рис.13.3. D-разбиение

плоскости по одному            параметру

 

 

где k – настраиваемый коэффициент.

Разрешим характеристическое уравнение относительно k:

.

Заменим оператор р на jω:

Построим зависимость R(ω) от Im(ω). Программа Matlab:

w=-1.25:0.1:1.25; R=w.^2; I=(w.^3)-w; plot(R,I)

На рисунке стрелкой показано направление изменения угловой частоты от -∞ к +∞, следовательно, штрихуется левая сторона границы D-разбиения.

 

Окрашенный участок – область устойчивости. Так как настраиваемый параметр коэффициент к – вещественное число, то выбираем по вещественной оси значение к = 0,5, как равно удаленное значение от границ устойчивости.

Проверим на устойчивость системы с данной настройкой, определив значения корней характеристического уравнения.

d=[1 1 1 0.5]; x=roots(d)

x =

-0.1761 + 0.8607i

-0.1761 - 0.8607i

-0.6478 + 0.0000i

Система устойчива – все вещественные части корней отрицательны.

D-разбиение плоскости двух параметров

При разбиении плоскости двух параметров характеристическое уравнение записывается в виде

где k,τ – настраиваемые параметры, полиномы. Заменим оператор р на jω и выделим вещественную и мнимую части полиномов

Сгруппировав, получим:

 

Комплексная величина (13.2) равна нулю, если вещественная и мнимые части равны нулю и тогда

Разрешим систему уравнений (13.3) методом определителей, где переменные k и τ.

где

Определяются значения k и τ при изменении ω от 0 до ∞.

Правило штриховки: при перемещении вдоль кривой D-разбиения от точки ω = −∞ к точке ω = + ∞ линия штрихуется слева, если знак определителя Δ отрицательный и справа – если положительный.

Пример. Характеристическое уравнение САР с замкнутой обратной связью

 

настраиваемые параметры.

Построить кривую D-разбиения в плоскости параметров

Запишем (13.4) в виде

Из полученного выражения выделим вещественную и мнимую части

Перепишем систему уравнений для применения правила Крамера

 

Определители системы

Коэффициенты

Matlab-программа

w=0:0.1:10; k₁ =1./w;k₂=w.^2; plot(k₁,k₂)

На рисунке выделена цветом область устойчивости в плоскости коэффициентов k₁ и k₂. Она составляет часть пространства, ограниченного диапазоном задания угловой частоты.

Рис. 13.4. D-разбиение плоскости по двум параметрам

k₁ и k₂

Стрелкой показано направление изменения угловой частоты от -∞ до +∞; определитель системы отрицателен, следовательно, штрихуется (закрашивается) правая сторона границы D-разбиения.