Глава 13. Статическая устойчивость электрических систем

Общие сведения

Под статической устойчивостью электрической системы понимается способность системы самостоятельно восстанавливать исходный режим или режим, близкий к исходному. Возмущения исходного режима принимаются малыми и причина, вызывающая эти возмущения, не рассматривается и не принимается во внимание при аналитическом исследовании.

Эти особенности определения статической устойчивости электрических систем аналогичны с разработанным А.М. Ляпуновым аппаратом об устойчивости решений системы дифференциальных уравнений, описывающих динамическую систему (объект). В разработанной 1-й теореме об устойчивости анализируется линеаризованные однородные дифференциальные уравнения в приращениях. Линеаризация выполняется разложением нелинейных уравнений в степенной ряд Тейлора и учитываются только первые члены разложения. Полученные уравнения характеризуют не вынужденные, а собственные колебания параметров режима системы, определяемые параметрами элементов системы и характеристиками ее исходного режима.

В соответствии с 1-й теоремой А.М. Ляпунова при нарушении равновесия системы абсолютная величина отклонения управляемой переменной от заданного значения по истечении длительного времени должна стать меньше заранее заданного значения ε:

Основные положения этой теоремы:

1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то действительная (не линеаризованная) система устойчива.

2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то система неустойчива.

3. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет один нулевой корень или пару чисто мнимых корней, то поведение действительной (не линеаризованной) системы не может определяться ее линеаризованным уравнением и на устойчивость влияют отброшенные члены.

Характер переходного процесса зависит от вида корней характеристического уравнения:

- если корни вещественные и отрицательные числа, то все составляющие переходного процесса экспоненциально затухают – режим системы статически устойчив; и экспоненциально нарастают, если хотя бы один из корней вещественное положительное число – режим системы статически неустойчив (апериодическое нарушение устойчивости, или сползание режима);

- если корни комплексно-сопряженные числа, то составляющие переходного процесса имеют колебательный характер с затуханием огибающей по экспоненте – режим системы статически устойчив.

Переходной процесс колебательный с нарастанием амплитуд колебаний, если хотя бы один корень с вещественной положительной частью − режим системы статически неустойчив (колебательное нарушение устойчивости, или самораскачивание).

Таким образом, необходимым и достаточным условием статической устойчивости проверяемого режима электрической системы (или критерием устойчивости) является требование отрицательности вещественной части всех корней характеристического уравнения. 

Критерий устойчивости режима работы электрической системы, связанный с определением корней характеристического уравнения имеет существенный недостаток – сложность вычисления корней характеристического уравнения, если его порядок больше двух. Это обстоятельство ограничивает определением устойчивости по корням характеристического уравнения только для простейших схем электрической системы, для которых также разработаны и применяются практические критерии устойчивости.

При высокой степени характеристического уравнения задача отыскания его корней становится весьма трудоемкой операцией и ее решают отысканием условий, при которых система не имеет положительных вещественных корней характеристического уравнения. Эти условия называются критериями устойчивости.

 Методы определения условий (критериев устойчивости) по коэффициентам характеристического уравнения подразделяются на алгебраические – методы Рауса и Гурвица и частотные  – методы Михайлова, Михайлова-Найквиста, Д-разбиения.