Сложение колебаний одного направления. Групповая скорость

При сложении колебаний с близкими частотами возникают, так называемые биения. Если , тогда

Пренебрегая  по сравнению с  получим

Здесь . Косинус берется по модулю, так как функция четная и поэтому частота биений ω = Δω, а не Δω / 2. Период биений равен

Вообще, любое сложное колебание можно представить в виде ряда Фурье (разложение в ряд Фурье), где суммируются колебания с различными амплитудами, начальными фазами и кратными некоторой циклической

частоте 0 ω частотами:

. Слагаемые называются первой (основной), второй и т.д. гармониками сложного периодического колебания; совокупность гармоник образуют спектр колебаний.

Во всех рассмотренных ранее случаях под скоростью распространения волн мы понимали фазовую скорость, т. е. скорость, с которой распространяется поверхность одинаковых фаз. В отсутствие дисперсии фазовая скорость волн не зависит от частоты. Поэтому, если есть набор волн разных частот, все они будут двигаться с одной и той же скоростью и пакет, который они образуют в результате сложения, при движении не изменяет своей первоначальной формы. Он движется с той же скоростью, что и волны, из которых состоит. Для волн, которые имеют дисперсию, кроме фазовой, необходимо ввести понятие групповой скорости. Групповая скорость характеризует распространение волн сложного несинусоидального характера в среде, где фазовая скорость волн зависит от их частоты.