2020-05-11
856
1. Пусть дана квадратная матрица второго порядка А= 
.
Определитель (детерминант) второго порядка данной матрицы число, которое находится с помощью равенства: 
= 
- 
Определитель обозначается символом:
Пример: Вычислить определители второго порядка.
2. Пусть дана квадратная матрица третьего порядка А= 
. Тогда определитель матрицы находится по правилам:
1. 
Треугольника.
Пример.
2. 
Правило Саррюса.
Справа дописывают 2 первых столбца и
Произведения элементов на главной диагонали
И на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «+», а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «-».
Найдите определитель матрицы:
1) А= 
2) В= 
3) С= 
4) К= 
Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу).
Для определителя четвёртого и более высоких порядков обычно применяются иные методы вычисления, нежели использование готовых формул как для вычисления определителей второго и третьего порядков.
|
|
|
Один из методов вычисления определителей высших порядков – использование следствия из теоремы Лапласа Это следствие позволяет разложить определитель по элементам некоторой строки или столбца. При этом вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. Именно поэтому такое преобразование именуют понижением порядка определителя. Например, вычисление определителя четвёртого порядка сводится к нахождению четырёх определителей третьего порядка.
Например, определитель третьего порядка можно посчитать разложением по строке:
= 
+ 
+ 
=
+ 
+ 
или столбцу:
= + 
+ 
=
+ 
+ 
Пример. Разложим определитель третьего порядка по элементам первой строки.
= 1 
+ 2 
+ 3 
= -3+12-9=0
Точно также можно выполнить разложение определителя четвертого порядка.
Вычислите определители разложением:
1. 
2. 
3. 
4
Формулы Крамера
Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.
Пусть дана система уравнений: 
Алгоритм решения системы методом Крамера:
1. Вычислить определитель основной матрицы (при неизвестных членах)
0
2. Вычислить определитель 
= 
3. Вычислить определитель 
= 
|
|
|
4. Выполнить вычисления по формулам:
= 
= 
5. 
Записать ответ ( 
Пример 1. Решить систему линейных уравнений:
1. 
0
2. 
= 
=1*4-2*(-3)=10
3. 
= 
=3*(-3)-1*1= -9-1 = -10
4. 
= 
=1 
= 
5. Ответ: (1;-1)
Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Решение. Находим определитель системы:
Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители
По формулам Крамера находим:
Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.
