Действия с матрицами

1 2 3 4 5

Содержание

1. Матрицы. Виды матриц 4

2. Действия с матрицами 5

3. Определитель матрицы 8

4. Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке

(столбцу) 9

5. Формулы Крамера 10

6. Миноры. Алгебраические дополнения. Обратная матрица 12

7. Матричный метод решения систем линейных уравнений 14

8. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 16

9. Практические работы 18

10. Список литературы 22

Матрицы. Виды матриц. Действия с матрицами.

Определитель матрицы.

Понятие матрицы.

1. Матрица - множество чисел, которые образуют прямоугольную таблицу, в которой m строк и n столбцов.

2. Общий вид матрицы размера m на n (m n):

3. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно обозначать двумя индексами a_ij: первый i- это номер строки, а второй j – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Виды матриц.

1. Прямоугольная матрица - матрица, у которой количество строк не совпадает с количеством столбцов (m n).

А = - матрица размером … …

1.1. Матрица – строка - матрица, которая содержит одну строчку

В = . Размер: … …

1.2. Матрица – столбец – матрица, которая …

С = . Размер: … …

Матрица- строка и матрица- столбец называются матрицами- векторами.

2. Квадратная матрица - матрица, у которой количество строк совпадает с количеством столбцов.

К = .

Число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.

Для матрицы К порядок равен (2) или её размер 2 2.

Если у матрицы провести линию слева- направо вниз, то получится главная диагональ.

2.1. Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали равны нулю.

2.2. Диагональная матрица - квадратная матрица, у которой на главной диагонали числа, а все остальные нули.

2.3. Скалярная матрица - диагональная матрица, у которой на главной диагонали одинаковые числа, а остальные нули.

2.4. Единичная матрица – скалярная матрица, у которой на главной диагонали 1, а остальные нули. Обозначается буквой Е.

2.5. Нулевая матрица- матрица, все элементы которой 0. Обозначается буквой О.

3. Транспонированная матрица – матрица, у которой строчки переставляются со столбцами. Обозначается А^т, В^т.

Пример: А = А^т=

Для матрицы - строки транспонированной будет ….

Действия с матрицами.

1. Сложение. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица, которая определяется по правилу, например,

Пример: Найти сумму матриц:

- нельзя, т.к. размеры матриц различны.

2. Вычитание. Производится аналогично сложению, но при этом учитываются все знаки чисел и правила действия с числами.

3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k, нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу

4. Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, необходимо проверить, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй).

Произведением матрицы A на матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

1) каждый элемент первой строки матрицы А умножается на каждый элемент первого столбца матрицы В и полученные произведения алгебраически складываются. Получается элемент с₁₁.

2) каждый элемент первой строки матрицы А умножается на каждый элемент второго столбца матрицы В и полученные произведения алгебраически складываются. Получается элемент с₁₂.

3) каждый элемент первой строки матрицы А умножается на каждый элемент третьего столбца матрицы В и полученные произведения алгебраически складываются. Получается элемент с₁₃. …

4) каждый элемент второй строки матрицы А умножается на каждый элемент первого столбца матрицы В и полученные произведения алгебраически складываются. Получается элемент с₂₁.

5) каждый элемент второй строки матрицы А умножается на каждый элемент второго столбца матрицы В и полученные произведения алгебраически складываются. Получается элемент с₂₂. И т. д.

Пример: Найти произведение матриц.