Теорема 5. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

УРОК ГЕОМЕТРИИ В 8 КЛАССЕ 22.04.2020 г.

ТЕМА УРОКА: 1. Замечательные точки треугольника

Ответьте на вопросы А1 и А2

Теория: СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА С ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ СТР.173-174

Теорема 1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

 

Теорема 2. (обратная) Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.

Первая замечательная точка треугольника — точка пересечения биссектрис

Теорема 5. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

AN, BM — биссектрисы, O — точка их пересечения.

Является ли биссектрисой CK? Если точка O равноудалена от сторон AB и AC и от сторон BA и BC, то она лежит на биссектрисе угла ∡ C, так как равноудалена от сторон угла.

Эта точка и есть центр вписанной в треугольник окружности, всегда находится в треугольнике.

ТЕОРИЯ: СВОЙСТВО СЕРЕДИННОГО ПЕРПЕНДИКУЛЯРА К ОТРЕЗКУ

 

Теорема 3. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

 

Теорема 4. (обратная) Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Вторая замечательная точка треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника

Теорема 6. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Допустим, точка O — точка пересечения двух серединных перпендикуляров сторон AB и BC. Она равноудалена и от точек A и B, и от точек B и C.Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре стороны AC, так как равноудалена от её конечных точек.

Эта точка и есть центр описанной около треугольника окружности, находится в треугольниках с острыми углами, вне треугольника с тупым углом и на гипотенузе прямоугольного треугольника.

Третья замечательная точка треугольника — точка пересечения медиан

Теорема 7. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.

Четвёртая замечательная точка треугольника — точка пересечения высот треугольника

Теорема 8. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ:

№1 Указание:  чертёж дан перечертите его и находите неизвестное, используйте свойство замечательных углов.

Стороны угла A касаются окружности с центром O радиуса R. Определи расстояние OA, если ∡ A = 60° и R = 22 см. OA =

№2 Указание: Чертёж даю его перечертить, определяйте по нему, какие треугольники у вас получаются.

В треугольнике ABC серединный перпендикуляр стороны BC пересекает сторону AC в точке D. Определи длины отрезков AD и DC, если BD = 42 см и AC = 56 см.

№3 Указание: Чертёж вам даю, подумайте, чем является точка Д

Известно, что точка пересечения серединных перпендикуляров сторон AB и BC треугольника ABC находится на стороне AC. Определи длину отрезков, в которых точка D делит сторону AC, если AC= 4 см.  AD=?; DC=?