Дайте определение совместной функции распределения двумерной случайной величины и укажите ее свойства. Обоснуйте эти свойства и/или приведите примеры их выполнения

Функцией распределения F (x, y) двумерной случайной величины (X, Y) называется вероятность того, что X < x, a Y < y:

F (х, у) = p (X < x, Y < y). (8.1)

y

Рис.1.

Это означает, что точка (X, Y) попадет в область, заштрихованную на рис. 1, если вершина прямого угла располагается в точке (х, у).

Замечание. Определение функции распределения справедливо как для непрерывной, так и для дискретной двумерной случайной величины. Свойства функции распределения.

1) 0 ≤ F (x, y) ≤ 1 (так как F (x, y) является вероятностью).

2) F (x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу:

F (x ₂, y) ≥ F (x ₁, y), если x ₂ > x ₁;

F (x, y ₂) ≥ F (x, y ₁), если y ₂ > y ₁.

Доказательство. F (x ₂, y) = p (X < x ₂, Y < y) = p (X < x ₁, Y < y) + p (x ₁ ≤ X < x ₂, Y < y) ≥

≥ p (X < x ₁, Y < y) = F (x ₁, y). Аналогично доказывается и второе утверждение.

3) Имеют место предельные соотношения:

а) F (-∞, y) = 0; b) F (x, - ∞) = 0; c) F (- ∞, -∞) = 0; d) F (∞, ∞) = 1.

Доказательство. События а), b) и с) невозможны (так как невозможно событие Х<- ∞ или Y <- ∞), а событие d) достоверно, откуда следует справедливость приведенных равенств.

4) При у = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Х:

F (x, ∞) = F ₁(x).

При х = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Y:

F (∞, y) = F ₂(y).

Доказательство. Так как событие Y < ∞ достоверно, то F (x, ∞) = р (Х < x) = F ₁(x). Аналогично доказывается второе утверждение.

Доказать локальную предельную теорему Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<p<1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n). Pn(k)=1/(корень из npq)*фи(х). Здесь Фи(х)=1/(корень из 2пи)*е в степени –х*2/2, x=k – np/(корень из npq). Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<p<1), событие наступит не меньше k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна: P(k1;k2)=Ф(х’’) – Ф(х’). Здесь Ф(х)=1/(корень из 2пи) * интеграл от0 до х е в степени –(z*2/2)dz – функция Лапласа, х’=(k1 – np)/(корень из npq), х’’=(k2 – np)/(корень из npq).