Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок, правило «трех сигм»

В условиях, при которых верна классическая формула вероятности (т. е. для опыта с конечным числом равновозможных элементарных исходов), докажите, что вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

P(A+B)=P(A)+P(B)

n – Общее число элементарных возможных исходов

m1 – число исходов, благоприятствующих А

m2 - число исходов, благоприятствующих В

Число элементарных исходов, благоприятствует либо А, либо В = m1+m2. Следовательно,

P(A+B)=(m1+m2)/n=m1/n+m2/n

m1/n = P(A); m2/n = P(B)

Вывести выражение для математического ожидания альтернативно распределенной случайной величины.

Альтернативной СВ, называется СВ Х, задаваемая рядом распределения

 

Х	0	1
р	1-р	р

 

 

МХ=0*(1-р)+1*р=р

М(Х²)=0²(1-р)+1²р=р

DX= М(Х²)-(МХ)²=р-р²=р(1-р)

Вывести выражение для дисперсии альтернативно распределенной случайной величины.

Альтернативной СВ, называется СВ Х, задаваемая рядом распределения

 

Х	0	1
р	1-р	р

 

 

МХ=0*(1-р)+1*р=р

М(Х²)=0²(1-р)+1²р=р

DX= М(Х²)-(МХ)²=р-р²=р(1-р)

Вывести выражение для математического ожидания случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

Говорят, что СВ Х распределена по закону Пуассона с параметром λ, если она принимает значения 0,1,2,… с вероятностями

  

           Λ^k

P_n(k)= - *e^-λ     где λ≥0

           K!                                                                                           

     ∞ λ^k         ∞ λ^k                    ∞ λ^k-1

MX= Σ *k*- * e^-λ= Σ*k *- * e^-λ = e^-λλ Σ* -   

    ^k=1   k!    ^k=1 k(k-1)!         ^k=1 (k-1)!

 

Предположим, что k-1=m, получим

 

              ∞ λ^m

MX =λ* e^-λ Σ -   

             ^m=0  m!

                                              ∞ λ^m

Принимая во внимание, что Σ - имеем МХ= λ*e^-λ* e^λ=λ

                                            ^m=0  m!

 

DX= М(Х²)-(МХ)²= М(Х²)- λ²

          ∞ λ^k e^-λ  ∞ k λ^k e^-λ ∞ λ^k-1 e^-λ   

M(X²) = Σ k² - = Σ k - = λ Σ k -    

               ^k=1  k!  ^k=1 k(k-1) ^k=1 (k-1)!  

 

∞         λ^k-1 e^-λ         ∞ λ^k-1 e^-λ ∞ λ^k-1 e^-λ

= λ Σ[(k-1)+1] - = λ [Σ(k-1) - + Σ - ].

 ^k=1              (k-1)!  ^k=1  (k-1)! ^k=1 (k-1)!

Допустим k-1 =m, получим

 

             ∞ λ^m e^-λ ∞ λ^m e^-λ

M(X²) = λ[Σ m - + Σ - ]

              ^m=0  m! ^m=0  m!  

 Принимая во внимание, что

∞ λ^m e^-λ    ∞ λ^m e^-λ  ∞ λ^m

Σ m - = λ, Σ - = e^-λ Σ - = e^-λ e^λ    

^m=0  m!  ^m=0 m!   ^m=0 m!

 

Имеем,

M(X²) = λ(λ-1)= λ²+λ

DX= λ²+λ- λ²= λ

 Вывести выражение для дисперсии случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

Говорят, что СВ Х распределена по закону Пуассона с параметром λ, если она принимает значения 0,1,2,… с вероятностями

  

           Λ^k

P_n(k)= - *e^-λ     где λ≥0

           K!                                                                                           

     ∞ λ^k         ∞ λ^k                    ∞ λ^k-1

MX= Σ *k*- * e^-λ= Σ*k *- * e^-λ = e^-λλ Σ* -   

    ^k=1   k!    ^k=1 k(k-1)!         ^k=1 (k-1)!

 

Предположим, что k-1=m, получим

 

              ∞ λ^m

MX =λ* e^-λ Σ -   

             ^m=0  m!

                                                 ∞ λ^m

Принимая во внимание, что Σ - имеем МХ= λ*e^-λ* e^λ=λ

                                            ^m=0  m!

 

DX= М(Х²)-(МХ)²= М(Х²)- λ²

          ∞ λ^k e^-λ  ∞ k λ^k e^-λ ∞ λ^k-1 e^-λ   

M(X²) = Σ k² - = Σ k - = λ Σ k -    

               ^k=1  k!  ^k=1 k(k-1) ^k=1 (k-1)!  

 

 ∞         λ^k-1 e^-λ    ∞ λ^k-1 e^-λ ∞ λ^k-1 e^-λ

= λ Σ[(k-1)+1] - = λ [Σ(k-1) - + Σ - ].

 ^k=1              (k-1)!  ^k=1  (k-1)! ^k=1 (k-1)!

Допустим k-1 =m, получим

 

             ∞ λ^m e^-λ ∞ λ^m e^-λ

M(X²) = λ[Σ m - + Σ - ]

           ^m=0  m! ^m=0  m!  

 Принимая во внимание, что

∞ λ^m e^-λ    ∞ λ^m e^-λ  ∞ λ^m

Σ m - = λ, Σ - = e^-λ Σ - = e^-λ e^λ    

^m=0  m!  ^m=0 m!   ^m=0 m!

 

Имеем,

M(X²) = λ(λ-1)= λ²+λ

DX= λ²+λ- λ²= λ

 Вывести выражение для математического ожидания случайной величины, распределенной по геометрическому закону.

СВ Х называется распределенной по геометрическому закону с параметром р (где р€ [0;1]), если она принимает значения 1, 2,3...с вероятностями

 Р (Х = m)= р(1-р)^m-1 (m = 1,2,3...) р = const

 

          1 2 … m  … 1

(X=m)=(                                    ) S= -

          P pq … pq^m-1 … q-1 

 

     ∞              ∞             ∞          ∞            1

MX= Σ mpq^m-1= p Σ mq ^m-1 = p Σ (q^m)_q = p(Σ q^m) _q =p (-) _q =

   ^{m=1                     m=0                   m=0               m=0}                1-q

  1         p   

= p – = - = -

(1-q)² p²  p

 

DX =  М(Х²)-(МХ)²

               ∞                      ∞                          ∞                       ∞             

М(Х²)= Σ m²pq ^m-1 = Σ m(m-1+1)pq ^m-1  = Σ m(m-1)p q ^m-1  + Σ p q ^m-1

         ^{m=0                   m=0                                       m=1                                 m=1}

      ∞                       ∞         1 q 1-p

DX= Σ m(m-1)p q ^m-1  + Σ p q ^m-1 - - = - = -

      ^{m=1                                 m=1}              p²  p² p²

Вывести выражение для дисперсии случайной величины, распределенной по геометрическому закону.

СВ Х называется распределенной по геометрическому закону с параметром р (где р€ [0;1]), если она принимает значения 1, 2,3...с вероятностями

 Р (Х = m)= р(1-р)^m-1 (m = 1,2,3...) р = const

 

          1 2 … m  … 1

(X=m)=(                                    ) S= -

          P pq … pq^m-1 … q-1 

 

     ∞              ∞             ∞          ∞            1

MX= Σ mpq^m-1= p Σ mq ^m-1 = p Σ (q^m)_q = p(Σ q^m) _q =p (-) _q =

   ^{m=1                     m=0                   m=0                    m=0}                1-q

  1    p   

= p – = - = -

(1-q)² p²  p

 

DX =  М(Х²)-(МХ)²

               ∞                      ∞                          ∞                       ∞              

М(Х²)= Σ m²pq ^m-1 = Σ m(m-1+1)pq ^m-1  = Σ m(m-1)p q ^m-1  + Σ p q ^m-1

       ^{m=0                   m=0                                       m=1                                 m=1}

      ∞                       ∞           1 q 1-p

DX= Σ m(m-1)p q ^m-1  + Σ p q ^m-1 - - = - = -

      ^{m=1                                 m=1}              p²  p² p²

 В каких ситуациях на практике возникают биномиальное и геометрическое распределения?

Биномиальное - когда вероятность наступления событий во всех постоянных одинакова (монета Р=1/2).

Геометрическое - до первого появления события А.

 

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок, правило «трех сигм».

Большинство задач с использованием нормального распределения (как и других законов распределения абсолютно непрерывных случайных величин) сводится к определению вероятности попадания на отрезок.

Поскольку интеграл от нормальной плотности не табличный, то приходится пользоваться таблицами для интегралов от стандартной нормальной плотности в форме функции Лапласа:

Ф(x) = ,

считая эту функцию определенной для любых - , при этом

Ф(-х) - -Ф(х), т.е. функции Лапласа нечетна, ее значения для х>0 приведены в специальной таблице.

Итак, пусть X~ N(a,σ), найдем вероятность попадания на отрезок [b,c]:

P{b X C} = P {

При решении конкретных практических задач можно заново проделывать все выкладки, либо пользоваться окончательным результатом:

P{b

Правило «Трех сигм»

Теоретически нормальная плотность вероятности отлична от 0 в любой, даже очень отдаленной от а точки х, однако практически почти вся вероятность сосредоточена на отрезке а 3σ (отсюда и название.

В самом деле,

P{a-3σ

Таким образом, вероятность попадания вне этого отрезка равна всего 0,0027.

 

 Выборочный коэффициент ковариации (формула).

Пусть при проведении некоторого опыта наблюдаются две случайные величины и , причем одно и то же значение встречается раз, раз, одна и та же пара чисел ( наблюдается раз. Все данные записываются в виде таблицы, которую называют корреляционной.

Выборочная ковариация величин и определяется формулой

 

где , а , - выборочные средние величин и . При небольшом количестве экспериментальных данных удобно находить как полный вес ковариационного графа:

Рис. 101

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле

где - выборочные средние квадратические отклонения величин и .

Выборочный коэффициент корреляции показывает тесноту линейной связи между и : чем ближе к единице, тем сильнее линейная связь между и .

Д

Дайте определение события , противоположного событию А. Докажите, исходя из трех аксиом теории вероятностей, что .

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из 2-х противоположных событий обозначено через А, то другое - .

P(A) + P()=1

Противополож. события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.*

*P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_n)=1

Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна 1, то P(A₁+A₂+...+A_n)=1. Любые 2 события полной группы несовместны, поэтому можно применить теория сложения:

 P(A₁+A₂+...+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_n). Сравнив, получим: P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_n)=1