Определение и свойства оценок: выборочного среднего, выборочной дисперсии и исправленной выборочной дисперсии

Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее - это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

Определение

Пусть - выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве . Тогда её выборочным средним называется случайная величина

.

Свойства выборочного распределения

Пусть - выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного функция является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно .

Выборочное среднее - несмещённая оценка теоретического среднего:

.

Выборочное среднее - сильно состоятельная оценка теоретического среднего:

почти наверное при .

Выборочное среднее - асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин X_i конечна и ненулевая, то есть . Тогда

по распределению при ,

где N(0,σ²) - нормальное распределение со средним 0 и дисперсией σ².

Выборочное среднее из нормальной выборки - эффективная оценка её среднего.

 

Выборочная дисперсия

Перейти к: навигация, поиск

Выборочная дисперсия в математической статистике - это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую или исправленную выборочные дисперсии.

Определения

Пусть - выборка из распределения вероятности. Тогда

Выборочная дисперсия - это случайная величина

,

где символ обозначает выборочное среднее.

Несмещённая (исправленная) дисперсия - это случайная величина

.

Замечание

Очевидно,

.

Свойства выборочных дисперсий

Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения. Более точно, пусть - выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного функция является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Дисперсия этого распределения равна .

Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии. Если , то

и

,

где обозначает сходимость по вероятности.

Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия несмещённая:

,

и

.

Выборочная дисперсия нормального распределения имеет распределение хи-квадрат. Пусть . Тогда

.