П.
Приведите классическое определение вероятности и укажите, при соблюдении каких условий оно применимо.
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равно возможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Р(А)=m/n
Приведите формулу вероятности суммы двух совместных событий А и В. Пользуясь классическим определением вероятности, докажите эту формулу для опыта с конечным числом равновозможных элементарных исходов.
Знак суммы не нашла, простите, он пишется как ∩ только вверх ногами, поэтому писать его буду как он произносится ИЛИ
Формулу вероятности суммы двух совместных событий А и В:
Р(АилиВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А∩В)
Доказательство:
Конечная схема с равновозможными элементарными исходами определяется так. Имеется конечный набор элементарных событий Ω={w1……wn} и для каждого элементарного события wi задана его вероятность рi=1/n и
n
∑рi i = 1
i=1
Событие А={wi 1……wi m}.
m
Р(А)= ∑ рi I где рi=1/n
I=1
m
Получаем Р(А)= ∑ (1/n)i
I=1
Пусть А={wi 1……wi m} и В= wj 1……wj k}.
m k
Р(А)= ∑ рi i и Р(В)= ∑ рj к
i=1 j
Событие С=АилиВ= {wi1……wim, wj1…………. wjk, wj1 …... wim }-это математически записан рисунок
Промежуток {, wj1 …... wim }= Р(А ∩В) Получается
m k
Р(С)= ∑ рi i + ∑ рj к - Р(А ∩В)= Р(А)+ Р(В) - Р(А ∩В)
i=1 j=1
Еще один способ доказательства без использования классической формулы, зато точно правильный
Доказательство. Событие В = (B\A) или (А∩В), при этом события В\А и А илиВ несовместны (так как (В\А) ∩(А∩В) = 0/), поэтому по аксиоме аддитивности Р {В) = Р {В\А) + Р{А илиВ }, значит, Р{В\А) = Р(В) - Р{А∩В). Далее, А или В = Аили (В\А), при этом события А и В\А также несовместны (так как А∩(В\А) = 0/), поэтому по аксиоме аддитивности Р{Аили В) = Р(А) + Р{В\А). Подставляя в последнюю формулу выражение для Р{В\А), окончательно получаем Р{А или В) = Р{А) + Р{ В) - Р(А∩В}, что и требовалось доказать.
Приведите пример какого-либо опыта с конечным числом элементарных исходов, в условиях которого нельзя исчислять вероятности событий по формуле классического определения вероятности.
Ограниченность классического определения вероятности, в частности, заложена в равновозможности исходов.
Рассмотрим, например, стрельбу по круговой мишени. Элементарными исходами здесь являются попадания в то или иное кольцо круговой мишени. Попадение в малый внутренний круг оценивается в 10 очков, в окружающее его кольцо — 9 очков, в следующее — 8 и т. д., в самое внешнее кольцо — одно очко, непопадание в круговую мишень — нуль очков. Итак, имеется одиннадцать элементарных событий w10, w9 ……w0. Для каждого стрелка определенного класса имеются свои определенные устойчивые шансы (вероятности) выбить за один выстрел то или иное число очков р10, р9..., p0. Эти события, вообще говоря, неравновозможны. Например, для мастеров спорта, по-видимому, исключено событие w0, поэтому ро = 0, т. е. сразу исключается равновозможность.
Курсивом пояснение как решать такие задачи.
Конечная схема с неравновозможными исходами определяется так. Имеется конечный набор элементарных событий Ω={w1……wn} и для каждого элементарного события wi задана его вероятность рi=1/n и
n
∑рi i = 1
i=1
Событие А={wi 1……wi m}.
m
Р(А)= ∑ рi I
I=1
Эта схема является обобщением классической схемы.
Еще примеры:
Пример 1.2. Система контроля изделий состоит из двух независимых проверок, выполняемых одновременно. Изделие принимается, если оно прошло обе проверки. В результате каждой проверки бракованное изделие принимается с вероятностями альфа1 и альфа2 соответственно. Найти вероятность принять бракованное изделие.
Пример 1.3. В условиях примера 1.2 заданы вероятности бетта1 и бетта2 отбраковать годное изделие в результате первой и второй проверок соответственно. Найти вероятность отбраковать годное изделие.