Функции случайных величин и их числовые характеристики

Случайной величиной называется числовая функция X(ω), заданная на пространстве элементарных событий Ω и измеримая1 относительно σ-поля событий S. Далее случайные величины будут обозначаться прописными латинскими буквами (например, X, Y, Z) или строчными греческими (например, ξ, η, ζ).

Законом распределения вероятностей случайной величины называется правило, устанавливающее соответствие между значениями этой случайной величины (или множествами значений) и вероятностями того, что случайная величина примет данное значение (или попадет в соответствующее множество).

Функцией распределения вероятностей (или, короче, функцией распределения) случайной величины X называется функция2 (индекс)

FX(x) = P {X < x}, x э(в другую сторону) R.

Если известно, о какой случайной величине идет речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: F(x) = FX(x).

Как числовая функция от числового аргумента x, функция распределения F(x) произвольной случайной величины обладает следующими свойствами:

для любого x э(в другую сторону) R 0 <либо равно F(x) < либо равно 1;

F(-бесконечность)= lim(x-> -бесконечности) F(x)=0

F(+бесконечность) = lim (x-> +бесконечности) F(x)=1

F(x) является неубывающей функцией, т. е. для любых x1, x2 э(в другую сторону) R, таких что x1 < x2

F(x1) < F(x2);

F(x) непрерывна слева, т. е. для любого x э(в другую сторону) R

F(x)=F(x-0)=lim (z-> x, z<x) F(z)

Для любой случайной величины X и любых чисел x1, x2 э(в другую сторону) R, таких что x1 < x2, вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал [x1; x2) можно рассчитать по формуле

P {x1 <либо равно X < x2} = F(x2) – F(x1).

Две случайные величины X и Y называются независимыми, если для всех x, y э(в другую сторону) R

P {(X < x)подковка(Y < y)} = P {X < x} P {Y < y}, (2.1.8)

т. е. если для всех x, y э(в другую сторону) R события {X < x} и {Y < y}

независимы.

Числовые характеристики случайных величин, распределенных по биномиальному, геометрическому закону и закону Пуассона (значения мат. ожидания и дисперсии)

Биноминальный закон