Метод замены переменной (метод подстановки)

Определенный интеграл и его свойства

Цель: научиться вычислять определенные интегралы, используя непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям.

Определенный интеграл

Определение. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Для вычисления определенного интеграла от функции f(x) служит формула Ньютона-Лейбница:

т. е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Основные свойства определенного интеграла

1⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. если а = const, то

2⁰. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.

3⁰. Если a < c < b, то

4⁰. Если функция f(x) неотрицательна на отрезке [a; b], где a < b, то

5⁰. Если f(x) ³ g(x) для всех x Î [a; b], где a < b, то

Таблица первообразных

Функция	Первообразная	Функция	Первообразная

Методы вычисления определенного интеграла

Непосредственное интегрирование

Чтобы вычислить определенный интеграл , нужно:

1) найти какую-нибудь первообразную F(x) для функции f(x) (найти неопределенный интеграл от функции f(x), в котором можно принять С = 0);

2) в полученном выражении подставить вместо x сначала верхний предел a, а затем нижний предел b, и из результата первой подстановки вычесть результат второй.

Пример 1. Вычислить

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница получаем: =

= 19, 5

Пример 2. Вычислить

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница: =

Пример 3. Найти

Решение. =

Метод замены переменной (метод подстановки)

При вычислении определенного интеграла методом подстановки новая переменная вводится подобно случаю неопределенного интеграла. Однако в отличие от неопределенного интеграл а, где в полученном результате мы снова возвращались к прежнему переменному, здесь этого делать не надо.

Пример. Вычислить