Задание на дом: 15.04

Тема «Решение задач на нахождение объемов тел»

Объем составленного материала рассчитан на два урока. Разобранные решения данных задач, можно использовать в дальнейшем при решении других задач на нахождение объемов, поэтому этот  материал нужно сохранить. На первом уроке рассмотри первый тип задач и три задачи из типа 2. В конце указано задание для домашней работы.

1) В тетрадь выписать все пройденные формулы для нахождения объемов тел. (прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы, цилиндра, наклонной призмы, пирамиды, конуса, шара) и формулу для вычисления площади сферы.

2)Вспомним решение задач  на нахождение объемов. Эти задачи решай самостоятельно, а затем проверь ответы (решение приводится коротко)

Тип 1 (простые)

1. Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей – 10. Найдите объем конуса. В ответе запишите .

 

Решение:

 

 

Ответ: 96.

2. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4, 5 и 8. Найдите объем параллелепипеда.

Ответ:160

3. Радиус основания цилиндра равен 4, высота  . Найдите объем цилиндра.

Ответ: 160

4. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3. Найдите объем пирамиды, если её высота равна 9.

Ответ:18

5. Объем конуса равен 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту конуса пополам. Найдите объем отсеченного конуса.

Подсказка:

При изменении всех линейных размеров тела в k раз, объем этого тела изменяется в раз.

Ответ:1,5

Данный прием решения задач не требует знания формулы объема конуса.

6. Коническая воронка объемом 16 литров полностью заполнена жидкостью. Из воронки вычерпали часть жидкости, при этом ее уровень снизился до половины высоты воронки. Сколько литров жидкости вычерпали?

 

Найдем сколько литров жидкости вычерпали:

16-2=14

Ответ:14

7. В сосуд в виде конуса налита жидкость до высоты. Объем налитой жидкости равен 5. Сколько жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

 

Найдем сколько жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху:

320-5=315

Ответ:315

8. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 108. Чему будет равен объём параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в три раза?

 

Ответ: 4

9. Объём цилиндра равен 30. Чему равен объём конуса с таким же основанием и высотой?

Подсказка :

Если цилиндр и конус имеют общее основание и высоту, то

Ответ:10

10. Объём конуса равен 25. Чему равен объём цилиндра с таким же основанием и высотой?

Ответ:75

Тип 2 (сложнее)

1. Четырехугольная пирамида весом 81 горизонтальными плоскостями разрезана на 3 части

одинаковой высоты. Найдите вес средней части пирамиды.

При решении данной задачи можно использовать подсказку из задачи №5 типа 1.

Найдем массу части пирамиды состоящей из двух частей (верхняя и средняя):

Найдем массу верхней части пирамиды

Найдем вес средней части пирамиды:

24-3=21

Ответ: 21

2. Найдите объем части куба

Для того чтобы найти объем части куба. Необходимо из объема всего куба вычесть объем призмы в основании которой лежит равнобедренный прямоугольный треугольник.

Ответ: 7,5

3. Куб описан около цилиндра объемом 16 . Найдите объем куба.

Так как цилиндр вписан в куб, то диаметр цилиндра и высота равны ребру куба.

 

Для цилиндра   

 

Ответ: 64

4. Основанием прямой призмы является ромб с диагоналями 2 и 6. Найдите объем цилиндра, вписанного в эту призму, если объем призмы равен .

Задача многоэтапная и требует знание не только формул объемов тел.

1.

, где по теореме Пифагора

   

3. =0,45

Ответ: 0,45

5. Объем раствора в гальванической ванне равен 3 куб. м, при этом уровень раствора достигает высоты 75 см. В ванну погрузили деталь, после чего уровень раствора поднялся на 2 см. Найдите объем детали (в куб. м).

За основу берется формула

Объем раствора в гальванической ванне можно найти по формуле:

Объем детали погруженную в эту же ванную находим по этой же формуле:

Сделаем необходимые преобразования:

Из первой формулы  и подставим во вторую

Ответ: 0,08

6. В цилиндрический сосуд налили 3000 см³ воды. Уровень воды при этом достиг высоты 20 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 3 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³

При решении данной задачи можно воспользоваться утверждением: Объем налитой воды в сосуд прямо пропорционален уровню (высоте) воды в данном сосуде, при условии, что  величина постоянная.

3000 см³ – 20 см

х см³ - 3 см

х = (3000∙3):20

х = 450

Ответ:450

7. Радиус основания цилиндра увеличили в 3 раза, а его высоту уменьшили в 3,6 раза. Во сколько раз увеличится объем цилиндра?

Решение данной задачи сводится к работе с формулами.

Измерение первого цилиндра                                         Измерения второго цилиндра

                                                                                         

                                                                          

Найдем отношение

Ответ: 2,5

8. Вершины многогранника являются центрами граней куба. Найдите объем куба, если объем многогранника равен 12.

Обозначим ребро куба через .

Многогранник составлен из двух равных пирамид имеющих общее основание.

, то есть

, где  , а  , где сторона основания равна .

Подставим в формулу

Так как , то

Ответ: 72

9. В конус объемом 36 вписан шар. Найдите объем шара, если осевое сечение конуса является равносторонним треугольником.

 

Использовать будем две формулы: и

Так как осевое сечение конуса является равносторонний треугольник со стороной  , то

, а . Тогда .

Подставим в формулу и упростим:

Подставим в формулу и упростим:

Исходя из того, что

Ответ:16

10. В правильную треугольную призму объемом вписан шар. Найдите радиус шара.

Выразим объем призмы, используя формулу: , где

Используем решение предыдущей задачи.

Подставим в формулу объема призмы

Теперь найдем :

Ответ: 1,5

Задание на дом:  15.04.

1.Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

2.Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

3. Диагональ куба равна коню квадратному из 12. Найдите его объем.

4. Объем куба равен 24 корня из 3. Найдите его диагональ.

5. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

6.Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.           

 

7.Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A1, B1, B, C правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.