Вращательное движение твёрдого тела

Кинематика.

Основной задачей механики является определение состояния изучаемой системы (материальная точка, совокупность материальных точек, твердое тело) в любой момент времени, если известно состояние этой системы в начальный момент.

Описать движение точки — значит указать еѐ положение в любой момент времени. При своѐм движении она проходит непрерывную последовательность точек системы отсчѐта, называемую траекторией движения.

Положение материальной точки М в пространстве (рис. 1.1) задают радиус-вектором  или координатами , которые связаны выражением

                                      .

Здесь  - единичные векторы координатных осей.

Путь — расстояние, которое проходит точка при своѐм движении вдоль траектории, это скалярная величина. Путь S и перемещение не всегда совпадают даже при прямолинейном движении.

Если движение прямолинейное и однонаправленное, то очевидно, что численное значение вектора перемещения равно пройденному пути

Скорость определяет быстроту движения и его направление в данный момент времени. Средней скоростью за промежуток времени Δt называют вектор . Вектор средней скорости совпадает по направлению с вектором перемещения.

 

Скорость  точки определяется по формуле

                                           ,  

Скоростью точки называется векторная величина , равная первой производной по времени от радиус-вектора точки.

Вектор скорости, как и любой вектор, можно выразить через его компоненты , , :

Модуль скорости:

Свяжем компоненты скорости с компонентами радиус-вектора

, производная:

,

сравнивая выражения для , получим:

т.е. проекции вектора скорости на координатные оси равны производным по времени соответствующих координат движущейся частицы.

Если при движении точки направление еѐ скорости неизменно, то движение будет прямолинейным.

Если направление скорости изменяется, то движение будет криволинейным. Если величина скорости неизменна, то движение является равномерным. Если величина скорости изменяется, то движение будет переменным.

Ускорение  точки определяется по формуле

.

 

Ускорением точки называется векторная величина , равная первой производной по времени от скорости точки или, что то же самое, второй производной по времени от радиус-вектора этой точки.

Легко показать (читатель сам может это проверить), что

,

,

.

 

Для прямолинейного равноускоренного движения координата и скорость точки изменяются по законам

                           , ,

где индексом «0» отмечены начальные значения величин в момент времени t=0.

 

При криволинейном движении ускорение можно разложить на нормальную  и тангенциальную  составляющие

                          , , .

Нормальное ускорение направлено по радиусу R к центру кривизны траектории, а тангенциальное - по касательной к траектории.

 

Вращательное движение точки характеризуется углом поворота j, угловой скоростью  и угловым ускорением , которые связаны формулами

                                      , .

При равноускоренном вращении точки угол поворота j и угловая скорость w определяются по формулам

                          , .

Индексом “0” отмечены начальные значения величин.

Линейные и угловые величины связаны соотношениями

            , , , .

Динамика.

 

Действие одного тела на другое характеризуется силой. На тело действует столько сил, со сколькими телами оно взаимодействует. Под действием силы тело изменяет свою скорость не мгновенно, а постепенно, т. е. приобретает конечное по величине ускорение, которое тем меньше, чем больше масса тела. Всякое тело противится попыткам изменить его состояние. Это свойство тел называется инертностью. В качестве количественной характеристики инертности используется величина, называемая массой тела. Мерой инертности тела является его масса.

 

I закон Ньютона. Тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, пока на него не действуют другие тела, или их действие скомпенсировано. Первый закон Ньютона показывает, что состояние покоя или равномерного прямолинейного движения не требует для своего поддержания каких-либо внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое инерцией. Инерция – это свойство тела сохранять свое состояние покоя или движения. Системы отсчета, в которых выполняется I закон Ньютона (закон инерции), называются инерциальными.

 

II закон Ньютона. Скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе 

.

где– импульс (количество движения), векторная величина, равная для материальной точки произведению её массы на скорость  и направленная вдоль ;

 – масса – мера инертности тел.

Импульс механической системы равен геометрической сумме импульсов всех точек системы.

Из этого определения вытекает вторая формулировка второго закона Ньютона: ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей силе, обратно пропорционально массе и направлено в сторону действующей силы

                                             .

 

Сила  в механике – мера механического действия на данное материальное тело других тел. Это действие может иметь место как при непосредственном контакте, так и через посредство создаваемых телами полей (электромагнитным, полем тяготения). Сила – величина векторная и в каждый момент времени характеризуется численным значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Сложение сил производится по правилу параллелограмма.

 

В современной физике различают 4 вида взаимодействий:

1) гравитационное (обусловлено всемирным тяготением);

2) электромагнитное (осуществляется через электрические и магнитные поля);

3) сильное, или ядерное (обеспечивающее связь частиц в атомном ядре);

4) слабое (ответственное за многие процессы распада элементарных частиц).

III закон Ньютона. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению

                                           _.

Третий закон, как и 1-й и 2-й, справедливы лишь в инерциальных системах отсчёта. Кроме того, отступление от 3-го закона наблюдается в случае движения тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света.

 

Силы. В основе всех механических явлений лежит два вида взаимодействия: гравитационное и электромагнитное. Гравитационное взаимодействие двух неподвижных материальных точек описывается законом всемирного тяготения

                                          ,

гдеg = 6,67×10^-11 м³/(кг×с²)- гравитационная постоянная; m ₁ и m ₂ - массы материальных точек; r ₁₂ - расстояние между точками; направлена сила по прямой, соединяющей точки.

На практике широко применяют следующие силы:

сила тяжести (гравитационная по своей природе, обусловлена притяжением Земли и направлена вертикально вниз)

                                            ,

сила упругости (электромагнитная по своей природе, контактная сила, направлена противоположно деформации)

                                           ,

сила трения (электромагнитная по своей природе) скольжения, контактная сила, направлена противоположно скорости

                                            ,

сила вязкого трения (при движении тела в жидкости или газе) зависит от скорости тела и направлена против скорости; при малых скоростях она пропорциональна скорости, а при больших - квадрату скорости:

                                 , .

 

Импульс. Произведение массы точки на ее скорость называют импульсом

                                             .

Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов точек

                                           .

Скорость изменения импульса системы точек равна сумме всех внешних действующих сил

                               , .

Изменение импульса системы точек равно импульсу всех внешних сил

                                        .

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется

                                    .

Система называется замкнутой, если на нее не действуют внешние тела.

Центром масс системы называется точка, радиус-вектор которой определяется выражение

                                          .

Теорема о движении центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, к которой приложены все действующие на систему силы и в которой сосредоточена вся масса системы

                                        .

На практике широко используют следующие следствия баланса импульса:

если действующие на систему силы скомпенсированы, то импульс системы сохраняется

                         , если ;

если проекция сил на ось х равна нулю, то проекция импульса системы на эту ось сохраняется

                       , если .

Работа и энергия. Элементарной работой силы  при перемещении  называется скалярное произведение силы на перемещение

                                   .

Работа силы при перемещении из точки 1 в 2 определяется интегралом

                                          .

Работа силы за единицу времени называется мощностью

                                    .

Кинетическая энергия точки и системы точек определяется по формулам

                              , .

Изменение кинетической энергии системы равно сумме работ всех сил

                                          .

Среди сил в механике выделяют консервативные, работа которых не зависит от формы траектории (тяжести, упругости). Для консервативных сил вводится потенциальная энергия, убыль которой равна работе этих сил

                                 .

Потенциальная энергия для сил тяжести и упругости равна

,

где z – вертикальная координата, х – деформация пружины.

Проекция силы на ось х и потенциальная энергия связаны выражением

                                          .

Полной механической энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергий системы

                                          .

Закон сохранения полной механической энергии: в замкнутой системе полная механическая энергия сохраняется при отсутствии сил трения

                       , если .

Изменение полной механической энергии незамкнутой системы равно работе внутренних диссипативных  и внешних  сил

                               .

 

Вращательное движение твёрдого тела

Абсолютно твёрдым телом называется такое тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным.

Всякое движение твёрдого тела можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное.

Вращательнымназывается такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Определим кинетическую энергию вращения твёрдого тела (рис. 3.2). Разделим его мысленно на отдельные элементарные части, настолько малые, чтобы их можно было считать движущимися как материальные точки (). Обозначим массу i -го элемента , а скорость этого элемента .

Кинетическая энергия этого элемента

.

Просуммировав кинетическую энергию всех элементов, получим кинетическую энергию вращательного движения тела:

.

Линейная скорость  связана с угловой скоростью вращения тела  ( постоянна для всех точек тела).

.

Моментом инерции материальной точки относительно оси z называется произведение массы этой точки на квадрат её расстояния от оси вращения:

Определение. Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой оси z называется сумма моментов инерций материальных точекотносительно данной оси.

В соответствии с этими определениями:

Физический смысл момента инерции. Момент инерции во вращательном движении играет такую же роль, как масса при поступательном движении, характеризует меру инертности тела при вращательном движении. Чем больше момент инерции тела, тем труднее при прочих равных условиях привести его во вращательное движение. Момент инерции определяется не только массой, но и тем, как эта масса распределена относительно оси вращения.

Соотношение  является приближённым, причём тем более точным, чем меньше элементарные массы . Задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию.