Геометрический смысл производной

Производная функции y = f (x) в точке равна тангенсу угла a, образованного касательной к кривой в точке с положительным направлением оси ОХ, т.е. равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в точке с координатами — рис. 4.1.

Условие или означает, что в точке график функции y = f (x) имеет вертикальную касательную (т.е. параллельную оси OY).

2.1.2 Физический смысл производной

Для функции x = f (t), какую бы зависимость она ни отражала, меняющейся со временем t, производная , есть скорость изменения функции f (t) в данный момент t. Отношение выражает среднюю скорость изменения величины за промежуток времени D t, а предел этого отношения при стремлении D t к нулю выражает мгновенную скорость изменения в момент t.

Pис. 4.1

Понятие дифференцируемости функции в данной точке

Функция называется дифференцируемой в точке, если ее приращение в этой точке можно представить в виде

где — некоторое число, не зависящее от , — функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при , т.е. .

Теорема (о связи между дифференцируемостью функции в точке
и существовании производной): для того, чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Теорема (о связи между понятиями дифференцируемости и непрерывности функции): если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Например, функция непрерывна в точке , но не имеет в этой точке производной, т.е. не является дифференцируемой в точке x = 0, так как , .

Очевидно, если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.Функция y = f (x) называется гладкой на промежутке (a, b), если она имеет непрерывную производную f¢ (x) на этом промежутке, и кусочно-гладкой, если производная f¢ (x) допускает конечное число точек разрыва первого рода.