2020-05-25
130
Функция 
называется однородной p-го измерения относительно 
и 
, если для любого 
выполняется равенство
. (8)
Из определения следует, что функция 
является однородной функцией измерения 2, так как
.
В частности, если 
, то называют однородной функцией нулевого измерения. Для таких функций соотношение (8) принимает вид
. (9)
Например, функция 
является однородной функцией нулевого измерения, так как
.
Дифференциальное уравнение первого порядка вида 
называется однородным, если его правая часть есть однородная функция нулевого измерения.
Доказано, что однородная функция нулевого измерения зависит не от двух переменных и , а только от их отношения 
. Поэтому однородные дифференциальные уравнения решают с помощью подстановки
где 
— новая неизвестная функция. Относительно дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
Пример 4. Решить уравнение 
.
Решение. Уравнение является однородным, так как его правая часть является однородной функцией нулевого измерения (см. пример выше). Сделаем подстановку:
|
|
|
, 
, ,тогда 
; 
; 
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, для этого заменим 
на 
: 
; 
; 
.
Интегрируя, получаем 
, 
.
Вернемся к искомой функции . Так как , имеем 
; 
— общее решение дифференциального уравнения.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое может быть приведено к виду
, (10)
где 
— заданные функции переменной . Уравнение (10) линейно относительно и 
.Решение линейного уравнения 1-го порядка находят в виде произведения двух функций
(11)
где , 
— неизвестные дифференцируемые функции.
После замены (11) решение уравнения (10) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными вида (5):
(12)
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение. Это уравнение линейно относительно и . Приведем его к виду (10). Для этого разделим правую и левую части на : 
.
Здесь 
, 
. Введем замену (11) 
:
или 
.
Приравнивая к нулю выражение в скобках, получаем первое уравнение системы (12), остальные члены равенства образуют второе уравнение. При этом каждое уравнение является уравнением 1-го порядка вида (5), т. е. с разделяющимися переменными.
(*)
Решим первое уравнение системы (*):
; 
; 
;
; 
.Поскольку в данном случае достаточно найти одно из решений этого уравнения, которое обращает скобку в ноль, то обычно полагают 
. Тогда 
; 
; 
.
|
|
|
Замечание. Здесь использовано свойство логарифма 
.
Подставим во второе уравнение системы (*), получим уравнение с разделяющимися переменными:
; 
; 
.
Интегрируем последнее равенство
; 
; 
.
Поскольку 
, то 
— общее решение исходного дифференциального уравнения.
