Тема 4.7. Теория рядов
Понятие числового ряда
Числовым рядом называется выражение вида:
(1)
При этом числа называются членами ряда (1), аn – общим членом ряда.
Примеры рядов
Из членов бесконечной геометрической прогрессии можно составить ряд:
- ряд геометрической прогрессии
Если, например, взять a = 1, q = , то получим ряд:
Ряд называется гармоническим рядом.
Сумма первых п членов ряда называется частичной суммой ряда.
Таким образом, с рядом (1) связывается последовательность его частичных сумм
S 1, S 2, …,Sn, …, где S 1 = а 1, S 2 = а 1 + а 2, … Sn = а 1 + а 2 + … + ап, …
Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм, т.е. если существует предел
Число S называется суммой ряда.
Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся.
Например, ряд геометрической прогрессии сходится, если . Если , то этот ряд сходится только при а = 0, а в остальных случаях расходится.
|
|
Гармонический ряд расходится.
Свойства рядов
Теорема 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то для произвольного числа с ряд (2) тоже сходится, и его сумма равна сS. Если же ряд (1) расходится и с ≠ 0, то и ряд (2) расходится.
Другими словами: сходимость (расходимость) ряда не нарушится, если все его члены умножить на одно и то же отличное от нуля число.
Теорема 2. Если ряды (1) и (3) сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S3, то и каждый из двух рядов сходится и его сумма равна соответственно S1 ± S3.
Другими словами: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.
Следствие: Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.
Теорема 3. Если в ряде (1) добавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данным. В случае сходимости рассматриваемых рядов их суммы отличаются на сумму отброшенных членов.
Необходимые условия сходимости ряда
1) Если ряд сходится, то общий член ряда аn стремится к нулю (т.е. ). Однако, это условие не является достаточным. Например, гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.
Если , то ряд расходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Найдем - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.
2) Если ряд (1) сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … + (-1)n+1 +… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
|
|
При этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. при любом n.