2020-05-21
134
Пусть дан ряд 
с неотрицательными членами. Если существует предел 
, то при q<1 ряд сходится, при q>1 ряд расходится, при q=1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Пример. Определить сходимость ряда 
.
, следовательно, ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда 
.
Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю. Найдем 
.
Таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
Интегральный признак Коши
Пусть дан ряд с положительным членами, причем 
и f(x) – такая непрерывная монотонно убывающая функция, что f(п)=ап. тогда данный ряд и несобственный интеграл 
одновременно сходятся или расходятся.
Пример. Ряд 
сходится при a>1 и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный интеграл 
сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд 
называется обобщенным гармоническим рядом.
|
|
|
Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными.
Знакочередующиеся ряды
Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.
Знакочередующийся ряд можно записать в виде:
, где 
Признак Лейбница
Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины ui убывают 
и общий член стремится к нулю 
, то ряд сходится. При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам: 0 < S < un.
Теорема. Пусть даны знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).
(1)
и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
(2)
Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
