Решение задачи (7.6.15)–(7.6.19)

Будем искать ненулевые решения уравнения (7.6.15), удовлетворяющие условиям (7.6.16), (7.6.17) методом разделения переменных

(7.6.41)

Подставим (7.6.41) в (7.6.15) и разделим переменные, будем иметь

(7.6.42)

где знак перед постоянной разделения обоснован ниже.

Из (7.6.42) получим следующие два ОДУ относительно функций и

(7.6.43)

(7.6.44)

Подставляя (7.6.41) в (7.6.16), (7.6.18) при (иначе в соответствии с (7.6.41) что неприемлемо), находим следующие граничные условия для уравнения (7.6.44):

(7.6.45)

(7.6.46)

Таким образом, определение функции свелось к решению задачи (7.6.44)–(7.6.46), в которой не при всех значениях есть нулевые решения, то есть пришли к задаче Штурма-Лаувилля по определению собственных значений и соответствующих им ненулевых собственных функций

Общее решение уравнения (7.6.44) будет

Условие четности (7.6.46) требует, чтобы тогда

(7.6.47)

Подставляя (7.6.47) в (7.6.45) (знак «минус» функция косинус поглощает), получим

то есть

(7.6.48)

Таким образом (7.6.48) – собственные значения задачи Штурма-Лиувилля, а соответствующие им собственные функции с точностью до постоянной получим из (7.6.47)

(7.6.49)

Если бы в (7.6.42) перед поставить знак «минус», то повторяя выкладки пришли бы к уравнению

(7.6.50)

не имеющего вещественных корней.

Будем решать теперь уравнение (7.6.43), которое перепишем так

(7.6.51)

Делая в (7.6.51) подстановку приведем это уравнение к виду

(7.6.52)

то есть к модифицированному уравнению Бесселя (см. (7.2.21) нулевого порядка.

Его общее решение имеет вид:

где – модифицированная функцию Бесселя первого рода нулевого порядка, – модифицированная функция Бесселя второго рода (функция Макдональда) нулевого порядка, то есть общим решением уравнения (7.6.51) будет функция

(7.6.53)

Условие ограниченности решения (7.6.19) в приводит к требованию а поскольку то полагаем коэффициент в (7.6.53) равным нулю, получим с учетом (7.6.48)

(7.6.54)

Объединяя (7.6.49) с (7.6.54) в соответствии с (7.6.41), находим функцию

(7.6.55)

и, следовательно, сумма (7.6.55) также будет решением уравнения (7.6.15), удовлетворяющего условиям (7.6.16), (7.6.18), (7.6.19).

(7.6.56)

Удовлетворим решение (7.6.56) неоднородному краевому условию (7.6.17), получим

(7.6.57)

Для дальнейшего необходимо показать ортогональность функций на отрезке а также вычислить их норму. Имеем

(7.6.58)

так как

Таким образом, из (7.6.58) имеем ортогональность функций (7.6.49) на отрезке с квадратом нормы

(7.6.59)

Умножая теперь (7.6.57) на где – произвольно фиксировано, а затем интегрируя по в пределах от до будем иметь

откуда переобозначая на получим

(7.6.60)

Таким образом, ряд (7.6.56) с коэффициентами (7.6.60) определяют решение задачи (7.6.15)–(7.6.19) для функции

Объединяя решение (7.6.38) с коэффициентами (7.6.40) для функции и (7.6.56) с коэффициентами (7.6.60) для функции в соответствии с редукцией (7.6.9), получим решение исходной задачи (7.6.4)–(7.6.8) в форме: