Повторим понятие «Линия (ось) тангенсов»

Начнём с геометрической интерпретации тангенса – так называемой линии тангенсов. Это линия АВ, параллельная оси ординат, проходящая как касательная к единичной окружности в точке пересечения единичной окружности с осью ОХ (см. Рис.В).

Рис.В

Повторим доказательство того, что данная линия может считаться осью, где будут размещены значения функции тангенса от данного аргумента.

Из подобия треугольников ОАВ и ONM на Рис.В имеем:

Но ОА = 1, MN = sinx, ON = cosx,, поэтому

AB = tgx

Еще раз рассмотрим случай, когда x находится в первой четверти тригонометрического круга.

Аналогично повторим случаи, когда х находится в остальных четвертях.

В результате мы получили следующую геометрическую интерпретацию тангенса.

Тангенс угла х равен ординате точки В, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой ОМ, соединяющей точку х с началом координат.

Повторим рассмотрение на Рис.Г случая, когда х находится во второй четверти. Тангенс угла х отрицателен.

Рис. Г

Напомним, что из данного Рис.Г мы видим, что в связи с параллельностью оси ОУ и линии тангенсов, линия продолжения линии угла, равного π/2, никогда не пересечется с линией котангенсов, что иллюстрирует факт того, что тангенс от угла π/2 – не определен.

Рассмотрим простейшие уравнения второй Табличной группы

Для табличных значений тригонометрических функций тангенс и котангенс, при табличных а = +1/√3; -1/√3; +√3; -√3.

Теперь в правой части уравнения будет стоять табличное значение тангенса или котангенса (напомним, что решение уравнений с а= 0, ±1 были рассмотрены на предыдущем занятии).

Вспомним, что тангенс может принимать любые действительные значения, то есть уравнение имеет решение при любом , множеством решений уравнения является множество действительных чисел R.

13.

Рис.13

Идя по алгоритму решения простейшего тригонометрического уравнения:

- представим схему единичной окружности (Рис.13);

- отметим на оси тангенсов заданное значение величины tgx, равное 1/√3 (а = 1/√3), где tgx равен 1/√3 – это точка пересечения линии луча угла х с осью тангенсов (Рис.13);

- обращаем внимание, что на единичной окружности выделяются две точки (диаметральная пара), лежащие на одной линии луча, который пересечет ось тангенсов в точке 1/√3 на оси тангенсов. Это две точки на единичной окружности, которые соответствуют значениям углов, равных π/6 и 7π/6 радиан (см.рис.13):

Эти две точки на единичной окружности, равные π/6 и 7π/6 радиан, и есть решения данного простейшего тригонометрического уравнения. При этом второе решение 7π/6 получим путем полуоборота (π) от первого угла (первой точки), равного π/6 радиан.

Поэтому, далее при совершении бесконечного целого числа поворотов (π) (полуоборотов) против часовой стрелки и по часовой стрелке получим целую серию решений (множество значений х), при которых tgx будет равен 1/√3,

это значения х: π/6; 7π/6 = π/6 + π; 7 π/ 6 + π = π/6 + π +π; …

Все эти углы получаем из первого угла π/6 путем прибавления целого числа полуповоротов π (то есть с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны).

Таким образом, можем записать полученную серию решений данного уравнения одной формулой, решение в общем виде (для любого числа оборотов, то есть для любого числа n):

где n – число оборотов, выраженное положительным или отрицательным целым числом из множества целых чисел Z.

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приведем лишь рисунки и формулы решения уравнений.

14.

Рис.14

15.

Рис.15

16.

Рис.16

Решение уравнений при а = +1/√3; -1/√3; +√3; -√3

рассмотреть самостоятельно, по аналогии с рассмотренными примерами других простейших тригонометрических уравнений.

Линия котангенсов так же имеет место, аналогично линии тангенсов, и также может быть проведена. Изображение линии котангенсов привести также самостоятельно. Дать описание оси котангенсов.

Итак, на сегодняшнем занятии мы разобрали решение простейших тригонометрических уравнений, содержащие в правой части уравнения табличные значения тригонометрических функций.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Рассмотреть, изучить и выучить полученный материал.

2. Законспектировать только вопросы 2 и 3.

Вопрос 1 должен быть законспектирован ранее из предыдущего материала. В сегодняшнем материале вопрос 1 представлен для повторения материала.

3. Серию табличных решений для уравнений:

ctgx = +1/√3; -1/√3; +√3; -√3

выполнить самостоятельно и внести в конспект.

4. Выучить группу табличных решений простейших тригонометрических уравнений.

5. Знать ответы на Контрольные вопросы к теме:

- Понятие тригонометрического уравнения.

- Понятие тригонометрического круга.

- Определения и описание свойств тригонометрических функций.