Последовательно приведём и докажем формулы двойного аргумента для функций синуса, косинуса и тангенса

Урок математики №75             Группа 1 ВГ              Дата проведения: 30.04.20г.

Тема урока: Преобразование тригонометрических выражений

Домашнее задание: 1. ВЫПОЛНИТЬ ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ НА ТЕМУ:

                                                              «ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ»

 

1. Выберите из следующего списка углы, которым может соответствовать радиус-

вектор, находящийся во II четверти.        410°, 179°, 560°, -200°, 3800°, 720°, 480°.

Варианты ответов:

А) 410°, 179°, 560°;

В) -200°, 3800°, 720°, 480°;

С) -200°, 3800°, 480°;

D) 179°, -200°, 480;

E) Е) 179°,-200°.

2. Выразите углы α=40° и β=700° через радианную меру.

 

А) α = 135°, β = 450°;

В) α = 105°, β = 550°;

С) α = 135°, β = 650°;

D) α = 120°, β = 405°;

Е) α = 235°, β = 4500°.

4. Найдите значение выражения: 2cos30°+2cos60°- tg60°.

A) 0; B) 2; C) 1; D) -1; E) 3.

A) 1; B) 0; C) 2; D) 3; E) 4.

2. Вычислить с помощью формул сложения задания 1 и 2 варианта

 

Урок математики №76           Группа 1 ВГ          Дата проведения: 30.04.20г.

Тема урока: Формулы удвоения

Цели урока:

· формирование представлений о формулах двойного угла синуса, косинуса;

· формирование умений применять формулы двойного угла для упрощения выражений;

· овладение умением нахождения значений тригонометрических функций с применением формул двойного угла;

· овладение навыками преобразования тригонометрических выражений, доказательства тригонометрических тождеств с применением формул двойного угла.

Повторение

Запомнить формулы и научиться применять их при решении упражнений (вывод формул см. видеоурок №76)

Формулы двойного аргумента позволяют представить тригонометрическую функцию удвоенного аргумента в виде выражения тригонометрических функций простого (одинарного) аргумента.

Эти формулы устанавливают соотношение между sin2x, cos2x, tg2x и sinx, cosx, tgx.

 

Последовательно приведём и докажем формулы двойного аргумента для функций синуса, косинуса и тангенса.

1. Рассмотрим выражение sin2x — представим его аргумент в виде 2x=x+x и воспользуемся известной формулой синуса суммы аргументов:

sin(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ.

Тогда получим:

sin2x=sin(x+x)=sinx⋅cosx+cosx⋅sinx=2sinx⋅cosx.

Итак,

формула синуса двойного аргумента: sin2x=2sinx⋅cosx.

 

2. Рассмотрим выражение cos2x и аналогично представим его аргумент в виде 2x=x+x, а также воспользуемся известной формулой косинуса суммы аргументов:

cos(α+β)=cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ.

Тогда получим:

cos2x=cos(x+x)=cosx⋅cosx−sinx⋅sinx=cos2x−sin2x.

Итак,

формула косинуса двойного аргумента: cos2x=cos2x−sin2x.

 

3. Теперь рассмотрим выражение tg2x и вновь представим его аргумент в виде 2x=x+x, что даст возможность воспользоваться известной формулой тангенса суммы аргументов:

tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgα⋅tgβ.

Тогда получим:

tg2x=tg(x+x)=tgx+tgx1−tgx⋅tgx=2tgx1−tg2x;

 

формула тангенса двойного аргумента: tg2x=2tgx1−tg2x.

 

Обрати внимание!

Формулы синуса двойного аргумента и косинуса двойного аргумента справедливы для любых значений аргумента (никаких ограничений нет), тогда как формула тангенса двойного аргумента справедлива лишь для тех значений аргумента x, для которых определены функции tgx и tg2x, а также отличен от нуля знаменатель дроби, т. е. 1−tg2x≠0.

Это равносильно одновременному выполнению условий:

x≠π2+πk,k∈Z, x≠π4+πn,n∈Z.

 

Разумеется, все полученные формулы применимы и в тех случаях, когда место аргумента x занимает более сложное выражение, например, справедливы следующие соотношения:

sin4x=2sin2x⋅cos2x;

 

sinx=2sinx2⋅cosx2 — кстати, эту формулу иногда называют формулой половинного аргумента;

 

cos48°=cos224°−sin224°;

 

cos(2x+6y)=cos2(x+3y)=cos2(x+3y)−sin2(x+3y);

 

tg(2π3−2t)=tg(2(π3−t))=2tg(π3−t)1−tg2(π3−t) и т. п.

 

Любую из полученных формул двойного аргумента можно использовать как слева направо, так и справа налево (сворачивать) для решения тригонометрических выражений.