Ограниченные последовательности

Лекция

Тема: Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности.

Цели: создание благоприятных условий для изучения понятия числовой последовательности; ввести определение предела последовательности и предела функции; познакомить с правилами вычисления пределов функции в точке и на бесконечности.

Теоретический материаЛ

Определение№1: множество чисел, каждое из которых снабжено своим номером, называется числовой последовательностью.

Элементы этого числового множества называются членами последовательности и обозначают: первый член - а ₁, второй - а ₂ , n- й член - а _n и т.д. Вся последовательность обозначается: а _1, а _2, а ₃, …, а _n или (а _n).

Числовая последовательность представляет собой не что иное, как множество нумерованных чисел, упорядоченных наподобие натурального ряда, т.е. располагаемое в порядке возрастания номеров. Последовательность может содержать как конечное, так и бесконечное число членов.

Последовательность, состоящая из конечного числа членов, называется конечной, а последовательность, состоящая из бесконечного числа членов, - бесконечной последовательностью.

Иногда бесконечную числовую последовательность вводят, используя понятие функции:

Определение №2: Функцию у = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у = f(n), или у₁, у₂, у₃..., у_n или у(n).

Последовательности можно задавать различными способами, например, словесно, когда правило задавания последовательности описано словами, без указания формулы. Так, словесно задается последовательность простых чисел:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,...

Особенно важны аналитический и рекуррентный способы задания последовательности.

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена.

Приведем три примера.

1. у_n= n². Это аналитическое задание последовательности

1,4,9,16,…, n², …

Указав конкретное значение n, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если. Например, n= 9, то у₉ = 9² = 81, если

2. у_n= С. Здесь речь идет о последовательности С, С, С, …., С, ….. Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

3. у_n= 2ⁿ. Это аналитическое задание последовательности 2, 2², 2³, ….,2ⁿ, …

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n - й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность (а _n), заданная рекуррентно соотношениями:

а _1, = а, а _n+1 = а _n+ d

( а и d – заданные числа, d – разность арифметической прогрессии )

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность (b _n)? Заданная рекуррентно соотношениями:

b _1, = b, b _n+1 = b _n· q

( b и q – заданные числа, b≠0, q ≠ 0; q знаменатель геометрической прогресси прогрессии ).

Пример: Выписать первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:у₁ =1; у₂ = 1; у_n = у_n-2 + у_n-1

Решение. n –й член последовательности равен сумме двух предшествующих ему членов. Значит, последовательно получаем:

у₁ =1; у₂ = 1; у₃ =1+1 = 2; у₄ = 1+ 2 = 3; у₅ =2+3 =5; и т.д.

Ограниченные последовательности.

· Последовательность (х_n) называется ограниченной, если существуют такие два числа m и М, что для всех n N выполняется неравенство m≤ х_n ≤М.

· Последовательность (х_n) называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех n N выполняется неравенство х_n ≤М.

· Последовательность (х_n) называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех n N выполняется неравенство m≤ х_n

Например: последовательность (х_n), заданная формулой общего члена х_n= n, ограничена снизу (например, число 0) и не ограничена сверху.