Векторное произведение векторов. Свойства и приложение

Векторным произведением двух векторов a и b будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:

если векторы а и b коллинеарны, он будет нулевым;

он будет перпендикулярен и вектору a​​​​ и вектору b т.е. ∠(ac)=∠(bc)=π2∠ac=∠bc=π2;

его длина определяется по формуле: ∣с∣=∣а∣→∣a∣⋅∣b∣⋅sin∠(a,b) тройка векторов a, b, c имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.

Векторное произведение векторов a и b имеет следующее обозначение: [a×b].

свойства векторного произведения:

1) [a x b]= -[ b x a]

2) [(a1+a2)xb]=[a1 x b]+ [a2 x b]

3) [%*a x b]=%*[ a x b]

Смешанное произведение векторов. Свойства и приложение

Смешанным произведением a, b, и d является та величина, которая равняется скалярному произведению [a×b]×d и, где [a×b]×b - умножение a и b. Операцию умножения a, b, и d зачастую обозначают a⋅b⋅·d→. Можно преобразовать формулу так: a⋅b⋅d=([a×b],d)

Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученный во время умножения координат.

Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, в качестве строк которой использованы векторные координаты.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах равен модулю смешанного произведения этих век торов.

2. Объем четырехугольной пирамиды равен трети модуля смешанного произведения

3. Объем треугольной пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения

4. Векторы планарных тогда и только тогда, когда В координатах условие компланарности означает равенство нулю определителя