Пусть дана система линейных уравнений
.
Тогда переменную x1 можно выразить из первого уравнения, - из второго уравнения и т. д.
(10)
где и
Система (10) называется системой линейных уравнений, приведенной к нормальному виду. Матричная форма записи такой системы представляется как
(11)
где
При решении системы (11) за нулевое приближение корней может быть принят столбец свободных членов, т.е. . Любое k-е приближение ( вычисляется по формуле
Если последовательность приближений , , ,..., ,... имеет предел , то этот предел является точным решением системы уравнений (2).
К сожалению метод итераций имеет условную сходимость. Условие сходимости
(12)
Иначе говоря в каждой строке системы модули диагональных элементов должны быть больше суммы модулей остальных элементов. Добиться выполнения данного условия можно, например, поменяв местами строки системы.
|
|
Вычисления продолжаются до тех пор, пока значения не станут достаточно близкими к
(13)
где e - некоторое положительное число, характеризующее погрешность определения корней системы уравнений.
Иногда для контроля точности используют невязки (ведут вычисления до достижения минимальных невязок)
(14)
Достоинства и недостатки метода итераций
Достоинства
1. Простота.
2. Отсутствие накопления погрешностей.
Недостатки
1. Довольно большое количество итераций(низкая скорость сходимости).
2.Условная сходимость.
Метод Зейделя
Метод Зейделя представляет собой модификацию метода итераций. В нем при определении значения переменной на некоторой (k+1)-ой итерации используются только что вычисленные (k+1)-е приближения неизвестных , ,..., .
Пусть дана система уравнений (10). Выбранные начальные приближения корней подставляются в первое уравнение
Для определения полученное значение сразу же подставляется во второе уравнение системы
Аналогично определяются приближения корней . Значение вычисляется с использованием первых приближений всех переменных как
Как правило, процесс в методе Зейделя сходится к единственному решению быстрее, чем при использовании метода Якоби.
Метод релаксации
Простейшее объяснение метода релаксации следующее. Практически все итерационные методы характеризуются следующим рекуррентным соотношением
|
|
,
где , -результаты последующей и предыдущей итераций;
-некоторые приращения, зависящие от применяемого метода. В методе релаксации эти приращения умножаются на некоторую константу , называемую параметр релаксации, то есть
. (14)
Теоретически изменяется от 0 до 2, при >1-это метод верхней релаксации, при <1-соответственно метод нижней релаксации.
В неявном виде методы Якоби и Зейделя описываются выражением
Для явного выражения приращений вычтем из обеих частей
. Тогда
Или
(15)
Тогда
(15)
Подставив (15) в (14) после преобразований окончательно получим
В большинстве случаев параметр определяется опытным путем из условия минимума итераций. На практике метод релаксаций часто (но не всегда) позволяет резко снизить количество итераций.
Пример реализации изложенных методов в среде Mathcad
Исходная система в матричной форме Ax=B