Применение определенного интеграла к вычислению различных величин

2.1. Вычисление пути, пройденного точкой.

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от вычисляется по формуле

Пример 1. Скорость движения точки изменяется по закону м/с. Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

Согласно условию, По формуле находим

Ответ: S=1110 м

Пример 2. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Согласно условию, Следовательно,

(м)

Ответ: S=83 м

Пример 4. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Тело достигает наибольшей высоты подъёма в такой момент времени t, когда т.е. 39.2 - 9,8t=0, откуда t=4 с. По формуле находим

Ответ: S=78,4 м

2.2. Вычисление работы силы

Работа, произведенная переменной силой при перемещении по оси Ох материальной точки от х=α до х=b, находится по формуле

(1)

При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука:

(2)

где F – сила, Н; х – абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k - коэффициент пропорциональности, Н/м.

Пример 1. Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия её на 0,01 м нужна сила 10 Н.

Так как х=0,01 м при F=10 H. то, подставляя эти значения в равенство (2), получим 10=k•0,01, откуда k=1000 Н/м. Подставим теперь в это же равенство значение k, находим F=1000х, т.е. Искомую работу найдём по формуле (1), полагая

(Дж)

Ответ: А=0,8 Дж.

2.3.Вычисление силы давления жидкости

Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т.е. расстояния площадки до поверхности жидкости.

Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле

Р = 9,807∙δ∙Ѕ∙х,

где δ - плотность жидкости, кг/м³; S – площадь площадки, м²; х - глубина погружения площадки, м.

Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на неё различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р(х).

Пример 1. Вычислить силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 20 м и высотой 5 м (уровень воды совпадает с верхним обрезом шлюза).

На глубине х выделим горизонтальную полоску шириной dx.

5 м

20 м

Сила давления Р на стенку шлюза есть функция от х. Изменение глубины х на малую величину dx вызовет изменение силы давления Р на малую величину ΔР. Продифференцировав переменную Р, получим приближенное значение (главную часть) dP приращения ΔР.

Находим приближенное значение силы давления воды на эту полоску: ΔР=9,807 δ х ΔS=9607x•20 Δx. Но dP≈ ΔР. Интегрируя dP при изменении х от 0 до 5, получим

(Па)