Перемножение» эпюр с помощью формулы крайних ординат

Существует ещё один способ численного решения интеграла Мора (2.4) – «перемножение» эпюр с помощью формулы крайних ординат, которая является ничем иным как усовершенствованной (или видоизмененной) формулой способа Верещагина.

Пользоваться этим способом проще, т.к. не нужно разбивать грузовую эпюру на простые фигуры, запоминать координаты расположения центров тяжести этих фигур и их площади.

Как и для способа Верещагина формулу крайних ординат следует записывать для каждого прямолинейного участка эпюры, т.е. для участка без излома эпюры.

Рассмотрим один из участков балки или рамы (рис. 3.6). Обозначим ординаты на левом и правом концах участка соответственно  и .

аты на левом и правом концах участка соответственно  и .

Представим ординату М_хР (см. рис.10)   грузовой эпюры в виде суммы:

,

где , .

Определим ординаты изгибающих моментов М_хР и М_хi (см. рис. 3.6)

После преобразований получим окончательный вид формулы крайних ординат

 

(10)

 

где ,  – соответственно, левая и правая ординаты рассматриваемого участка грузовой эпюры;

,  – соответственно, левая и правая ординаты рассматриваемого участка единичной эпюры.

Второе слагаемое в формуле (3.4) называется поправкой на кривизну эпюры и используется, естественно, только на тех участках, где приложена распределенная нагрузка интенсивности .

Правило знаков для первого слагаемого формулы (3.4) такое же, как и в способе Верещагина, т.е. если соответствующие ординаты на эпюрах  и  направлены в одну сторону от базовой линии, то результат “перемножения” эпюр имеет знак “плюс”.

Пример 1. Определить вертикальное перемещение точки К (рис.11).

Рисунок 11

1. Воспользуемся способом Верещагина.

А) Определим реакции в опорах от внешней нагрузки. В ввиду симметрии приложения сил Р, реакции опор будут одинаковые: R_A = R_B = P. Строим эпюру изгибающих моментов (грузовую эпюру)  (см. рис.11, а).

Б) К ненагруженной балке прикладываем в точке К единичную силу Х₁=1, определяем реакции опор, которые также будут равны между собой, и строим единичную эпюру  М₁ (см. рис.11, б).

Далее производим ²перемножение² этих эпюр по способу Верещагина. Для этого разбиваем эпюру  на участки, на которых эпюра не имеет

1 переломов. Таких участков три: AD, DE и BE. Но участок DЕ не может рассматриваться целиком, т.к. на этом участке единичная эпюра М₁ имеет излом, поэтому разобьем его на два участка: DК и КE.   

В силу симметрии эпюр результаты ²перемножения² слева и справа от точки К будут одинаковыми. Потому ²перемножим² эпюры, например, слева от точки К  и удвоим результат.

Найдем площади элементов грузовой эпюры:

треугольника –      

 и прямоугольника – .

Ординаты единичной эпюры под центрами тяжести соответствующих площадей (см. рис.11), соответственно, равны

и ,

Согласно формуле Верещагина (3.1):

Знак (+) говорит о том, что перемещение балки в т. К происходит по направлению силы Х₁=1, т.е. направлено вниз.

2. Определить вертикальное перемещение точки К (см. рис. 11), используя формулу крайних ординат (формула (11)).

Так же, как и в предыдущем пункте, будем “перемножать” эпюры на участках AD и KE, а поскольку эпюра  симметрична, то полученный результат удвоим:

Результаты вычислений, естественно, совпадают с результатами предыдущего пункта 1