Примеры решения задач

РАЗДЕЛ 11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ТЕМА: Сложение и умножение вероятностей

Цель занятия: научиться складывать и умножать вероятности.

Порядок выполнения работы:

1) Изучить теоритический материал, составить краткий конспект в тетради;

2) В течение пары выполнить задания по материалу лекции (решить в тетради и выслать фотографии или документ преподавателю в социальной сети или на личную почту);

Контакты преподавателя: Arina_Kozlova96@mail.ru; https://vk.com/rina1996

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ

Суммой двух событий A и B называется событие C=A+B, состоящее в появлении или события A, или события B, или обоих вместе. Ключевое слово «или» («либо»).

Произведением двух событий A и B называется событие C=AB, состоящее в совместном выполнении события A и события B. Ключевое слово «и».

Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно.

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ

для несовместных событий;

для совместных событий.

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Условной вероятностью называют вероятность события A, вычисленную в предположении, что событие B уже наступило.

ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ

для независимых событий;

для зависимых событий.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 1. Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.

РЕШЕНИЕ:

Всего получено магазином: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящиков.

 – вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада;

 – вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада.

По теореме сложения несовместных событий:

– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.

ОТВЕТ:

ПРИМЕР 2. В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.

РЕШЕНИЕ:
Вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие независимые события:

A - из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;
B - из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;
C - из 3-го ящика извлечена стандартная деталь.
 ;  ;
Интересующее нас событие (из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная) выражается произведением
По теореме умножения вероятностей независимых событий:
 – вероятность того, что из трёх ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.

ОТВЕТ:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1. Петя собирал грибы в лесу. Когда он вернулся домой, оказалось, что в его корзинке 10 лисичек, 9 подосиновиков, 5 белых грибов и 6 подберёзовиков. Мама Пети наугад достала один гриб из корзинки. Какова вероятность того, что этот гриб окажется подосиновиком или белым грибом?

Задача 2. Бросают игральных кубик, на гранях которого числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Какова вероятность того, что выпадет число 3 или число 2?

Задача 3. В одной коробке 10 тетрадей, 2 из которых в клетку, а в другой – 8 тетрадей, 2 из которых в клетку. Из коробок вынули по одной тетради. Какова вероятность того, что обе тетради в линейку?

Задача 4. 9 «В» писал контрольную работу. Учитель при проверке разделил тетради на две стопки. В первой из них оказалось 12 тетрадей, а во второй – 15.

После проверки оказалось, что в первой стопке 3 работы выполнены на «5», а во второй – 6 работ.

Из каждой стопки наугад взяли по одной тетради. Какова вероятность того, что обе тетради окажутся с работами на «5»?