Изотермическая модель атмосферы

Адиабатный процесс в тропосфере

Известно, что температура тропосферы с высотой уменьшается. Основной причиной этого являются конвективные потоки воздуха, которые перемещают его из нижних слоёв тропосферы в верхние, и наоборот. Когда воздух с уровня моря поднимается в верхние слои с низким давлением, он расширяется. А так как воздух – плохой проводник тепла, то можно считать, что процесс расширения является адиабатным, что и приводит к понижению температуры. При потоке воздуха сверху вниз происходит его адиабатное сжатие, и температура повышается.

Оценим в рамках этой модели изменение температуры с высотой. Для этого рассмотрим вертикальный столб воздуха сечением S и вырежем в нём тонкий слой dh на высоте h над уровнем моря (рис. 4.8). Масса воздуха в этом слое

dm = ρ dV = ρ Sdh,

где ρ – плотность воздуха на высоте h. Вес этого слоя воздуха dP = ρ gSdh. Значит, уменьшение (убыль) давления с высотой – это давление этого слоя:

− dp = dP/S = ρ gdh.

Плотность воздуха ρ выразим из уравнения состояния pV = (m/M) RT:

ρ = .

И тогда:

,

или:

.                   (4.7)

Выразим теперь левую часть (4.7) через Т. Для этого продифференцируем уравнение адиабаты (4.4):

d (.

Это даёт:

.

А так как , то . И тогда (4.7) принимает вид:

С _р dT=−Mgdh,

или:

.                                        (4.8)

Подставляя сюда численные значения: g = 9,8, М = 0,029, С_р = (7/2) R = 29, получаем искомое изменение температуры с высотой:

.

Реально температура воздуха снижается немного медленнее, так как в данной адиабатной модели атмосферы не учитывается эффект выделения тепла при конденсации водяного пара в расширяющемся, а следовательно, и охлаждающемся потоке воздуха.

Изотермическая модель атмосферы

Вернёмся к уравнению (4.7). Если в первом приближении полагать, что температура воздуха с высотой не меняется, т.е. считать, что Т =const (изотермическое приближение), то уравнение (4.7) легко интегрируется:

.

Постоянная интегрирования А определяется из условия: при h = 0 давление    р = р ₀ = 1 атм. Это даёт: А = ln р ₀. И тогда

.                                                (4.9)

Эта формула называется барометрической и описывает изменение давления с высотой в изотермической модели атмосферы. Подстановка в (4.9) численных значений (М = 0,029, g = 9,8, R = 8,31, Т = 300) даёт, что давление атмосферы падает примерно в 2 раза на каждые 6 км высоты. График функции (4.9) показан на рис. 4.9.

Замечание. Если функцию Т (h) брать из адиабатной модели атмосферы, т. е. из (4.8), то уравнение (4.7) также легко интегрируется, но зависимость р (h) в этом случае будет более громоздкой.

Пример. Найти давление на вершине Эвереста в изотермическом приближении.

Решение. Полагая h = 9000 м, М = 0,029, Т = 250 К (−23°С), из (4.9) получаем: р = р ₀ е ^−1,28 ≈ 0,28 р ₀.