Задание для исследования

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

 высшего образования

 Пензенский государственный университет

Педагогический институт им. В.Г. Белинского

 

Факультет физико-математических и естественных наук

Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

 

Контрольная работа

по дисциплине «Методика обучения и воспитания (математика)»

вариант - 9

 

                                                                                  Выполнил:

студентка группы

16ЗФПМ51

Малькова Татьяна Викторовна

Проверил:

к.п.н., доцент 

Марина Елена Владимировна

 

 

Пенза, 2020

Вариант 9

1. Проведите методический анализ темы «системы линейных уравнений в двумя переменными». Составьте задание для исследования вместе с учащимися вопроса о наличии и количестве решений систем линейных уравнений в двумя неизвестными».

Указания. Методический анализ указанной темы проведите по следующему плану: а) определить цели изучения в школьном курсе математики и обосновать необходимость ее изучения в данном классе в данное время; б) выяснить логическую организацию учебного материала; в) сформулировать учебные и воспитательные задачи; г) обосновать методы и средства, с помощью которых будут реализовываться учебные и воспитательные задачи. При составлении исследовательского задания с целью выяснения наличия и количества решений системы линейных уравнений с двумя переменными можно использовать графический способ решения системы указанного вида. Учащимися решаются несколько специально подобранных примеров, на основе их анализа делается соответствующий вывод о взаимосвязи коэффициентов уравнений и наличии и количестве решений системы.

В курсе алгебры 7 класса учащиеся неоднократно встречаются с равенствами содержащими две переменные.

При изучении темы «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными» расширяется представление учащихся о таких равенствах. Вводится новое понятие «система уравнений». Важно отметить, что изучение всех вопросов темы существенно опирается на знания учащихся о функциях и графиках. Особенно на знания и умения, полученные при изучении линейной функции, поэтому необходимо организовать планомерное повторение опорных понятий.

При изучении этой темы школьники получают новый мощный аппарат решения задач, широко используемый в последующем изучении предмета. Кроме того, совершенствуются представления учащихся о взаимосвязи алгебраических и геометрических образов.

На первом уроке в разделе «Системы линейных уравнений» вводится понятие уравнения с двумя переменными и даётся определение решения такого уравнения как упорядоченной пары чисел- значений переменных, обращающих уравнение в верное равенство. Данное определение должно быть хорошо понято и усвоено учащимися. Учащиеся имеют большой опыт работы с числовыми парами, однако в новых условиях у некоторых из них вновь могут возникнуть ошибки: запись значений переменной на «чужом» месте, в частности не различение пар вида (1;4) и (4;1). Предупреждению этих ошибок следует уделить внимание при решении устных упражнений.

Понятие решения уравнения с двумя переменными следует отрабатывать на достаточно большом числе упражнений, при этом важно обратить внимание на упражнения, которые позволят избежать неверного представления учащихся о том, что уравнение с двумя переменными всегда имеет бесконечно много решений.

В седьмом классе учащиеся впервые начинают знакомиться с понятием равносильных уравнений с двумя переменными. Далее происходит развитие понятия равносильности – равносильность систем уравнений. Завершается тема введением понятия графика уравнения с двумя переменными. Обращается внимание учащихся на то, что график линейного уравнения можно строить по двум точкам и графиком всегда является прямая вне зависимости от коэффициента. При построении графиков целесообразно повторить расположение графика в системе координат в зависимости от коэффициентов.

  И наконец после всей предварительной подготовки использование геометрических представлений, связанных с уравнениями с двумя переменными, позволяет перейти к графическому способу решения систем уравнений. Решая графически системы уравнений с двумя переменными, учащиеся наглядно убеждаются, что системы могут не иметь решения, иметь конечное число решений, иметь бесконечно много решений. Ежеурочно перед графическим решением систем следует повторять следующий теоретический блок вопросов: а) что является графиком линейной функции; б) каков геометрический смысл коэффициентов в формуле линейной функции; в) алгоритм выражения переменных (х и у).

После того, как учащиеся усвоили графический метод решения систем уравнений, следует показать, что его использование не всегда удобно и даёт желаемый результат (приближённые значения) и как альтернативу предложить «способ подстановки». С самого начала учащиеся должны ясно представлять себе цель преобразования - добиться того, чтобы одно из уравнений системы содержало только одну переменную.

При разборе решения систем способом подстановки надо специально остановиться на этапе выбора той переменной, которую мы будем исключать из одного из уравнений: от этого часто существенно зависит сложность преобразования уравнений. Учащимся следует предложить алгоритмы решения, что значительно упростит задачу учителя по формированию прочных знаний. При решении первых систем от учащихся следует требовать полных и подробных объяснений выполняемых действий по образцу. Очень полезно 2-3 системы решить двумя способами – графическим и способом подстановки, тем самым закрепить ранее изученную тему и одновременно убедиться в большей эффективности аналитического способа решения.

  В математике целесообразно опираться на ранее полученные знания, необходимо повторять теоретический материал и выполнять устные упражнения по его закреплению, а именно в данной теме: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, вынесение общего множителя.

Изучив два способа решения систем линейных уравнений, учащимся следует показать возможные сложности их использования для отдельных систем уравнений и таким образом познакомить с третьим способом – «Способ сложения». Здесь, как и при решении систем, способом подстановки необходим чёткий алгоритм.

Изучив все три способа, учитель должен подобрать достаточное количество систем уравнений, на примере которых необходимо отработать выбор способа решения с предварительным анализом.

В зависимости от возможностей учащихся класса, их уровня подготовки целесообразно познакомить их с методом определителей и ввести уравнения с двумя переменными содержащие параметр.

Завершается раздел традиционно решением задач на составление систем линейных уравнений. При решении задач особое место следует отвести самоконтролю: проверке реальности ответа по содержанию задачи.

Данная последовательность изучения материала соответствует учебнику «Алгебра 7» Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Мендюк, К.И.Нешкова, С.Б.Суворовой. В соответствии с авторской программой на раздел «Системы линейных уравнений» отводится 17 часов, которого вполне достаточно, чтобы качественно изучить материал.

 При изучении темы использую различные методы и средства обучения, а также различные формы организации учебной деятельности: словесные методы обучения, наглядные методы, практические методы, активные методы, индуктивный и дедуктивный.

 

Задание для исследования

 

Решить систему уравнений:

1способ. Графический метод.

Решение. Построим графики уравнений системы. Сначала преобразуем оба уравнения к виду линейной функции. Из первого уравнения получаем: y=3x-5, а из второго: y=7-2x.

                       у

                                     y=3x-5

                  7

                   2   А

                   0  2               х

                 -5              y=7-2x

                                                                                                                   

Построим в одной системе координат графики линейных функций y=3x-5 и y=7-2x. Они пересекаются в точке А, координаты которой – единственное решение заданной системы. А вот чему конкретно равны абсцисса и ордината точки А, по рисунку точно определить затруднительно. Тем не менее, приближённые значения равны:

2 способ. Метод подстановки.

Решение. Из первого уравнения системы находим y=3x-5. Подставим это выражение вместо у во второе уравнение системы: 2x+(3x-5)-7=0.

Решим полученное уравнение: 2x+3x-5-7=0;

                                                 5x-12=0;

                                                   x=

Подставим найденное значение х в формулу y=3x-5:

Пара единственное решение заданной системы.

3 способ. Метод алгебраического сложения.

Решение. Исключим у, сложив оба уравнения системы:

                                                                       (3x-y-5)+(2x+y-7)=0+0

                                                                       5x-12=0;

                                                               x=

Подставив найденное значение х в любое уравнение системы, например в первое, и найдём у:

Итак,  решение системы.

  4 способ. Метод определителей второго порядка.

Запишем данную систему уравнений в виде:

Решение. Вычислим определители: D, :

Следовательно,

Ответ:

Решая пример четырьмя способами обучающиеся придут к выводу: насколько лаконичным и точным может быть решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными, применяя метод определителей второго порядка

Обучающиеся исследовав решения систем линейных уравнений, придут к выводу, что надо выбирать тот метод, который представляется для данного случая наиболее уместным, или тот, который больше нравится. При выборе метода решения системы необходимо обратить внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными и выбрать наиболее подходящий способ.

 

2. Составьте общую схему действий при разложении многочленов на множители разными способами. Приведите примеры заданий для ее иллюстрации.

Указания. В 7-ом классе изучаются несколько способов разложения многочленов на множители (вынесения общих множителей, группировка, применение формул сокращенного умножения). В заключении учащиеся учатся применять указанные приемы в комплексе. Сформулируйте инструкции для решения заданий подобного вида. Подберите несколько примеров многочленов, для разложения которых на множители используются сразу несколько приемов.

 

 Способы разложения многочлена на множители.

Вынести общий множитель за скобку

Разложение многочлена на множители по формулам сокращенного умножения.

способ группировки

Порядок разложения на множители:

1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть).
2. Попытаться разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.
3. Если предыдущие способы не привели к цели, то попытаться применить способ группировки.

Пример.

Разложим на множители многочлен а⁴ + а²b + ab³ + 2ab² + b³.

Объединяя первый и третий члены, а также второй, четвертый и пятый, вынесем за скобки их общие множители:

а⁴ + а²b + ab³ + 2ab² + b³ = (a⁴ + ab³) + (a²b + 2ab² + b³) =

= a (a³ + b³) + b (a² + 2ab + b²).

Применяя формулы суммы кубов и квадрата суммы, получаем:

a (a³ + b³) + b (a² + 2ab + b²) = a (a + b) (a² – ab + b²) + b (a + b)².

Вынося за скобки общий множитель (a + b), имеем

a (a + b) (a² – ab + b²) + b (a + b)² = (a + b) (a(a² – ab + b²) + b(a + b)) =

= (a + b) (a³ – a²b + ab² + ab + b²).

Итак, многочлен разложен на множители:

а⁴ + а²b + ab³ + 2ab² + b³ = (a + b) (a³ – a²b + ab² + ab + b²).

Пример.

x² + 4x – y² + 6y – 5 = (x² + 4x + 4) – (y² – 6y + 9) =

=(x + 2)² – (y – 3)² = (x + 2 + y – 3)(x + 2 – y + 3) =

(x + y – 1) (x – y + 5).

В заключении отметим, что разложение многочлена на множители (мы имеем в виду множители, имеющие степень, большую нуля) – трудная не всегда выполнимая задача. Существуют многочлены, которые вообще не разлагаются на множители, имеющие степень больше нуля. Таким, например, является многочлен a² + b².

4. Разработайте конспект урока ознакомления с новым материалом по теме: «Умножение положительных и отрицательных чисел»

Данный конспект разработан для 6 класса. Данный урок первый по счету при изучении темы «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел». Тип урока - урок изучения нового материала.

Формы работы: самостоятельная, индивидуальная, фронтальная работа.