Функциональные последовательности и ряды

Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

Определение. Будем говорить, что на множестве задана функциональная последовательность , если указано правило, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие функция, определенная на множестве .

Определение. Функциональная последовательность сходится в точке , если существует предел числовой последовательности : .

Определение*. Функциональная последовательность сходитсяк предельной функции на множестве , если она сходится в каждой точке этого множества, т.е. .

Определение. Пусть на множестве задана функциональная последовательность . Выражение вида называется функциональным рядом.

Определение. Функциональный ряд сходится на множестве , если сходится последовательность его частичных сумм на , т.е. .

Пример. Пусть , . Тогда при имеем: . Если , то и . Таким образом, последовательность сходится к предельной функции .

В этом примере предел последовательности непрерывных функций оказался разрывной функцией. Значит, непрерывность членов сходящейся на множестве последовательности непрерывных функций не гарантирует непрерывности предельной функции. Чтобы разобраться в этом, рассмотрим более сильное понятие - понятие равномерной сходимости.

Определение. Последовательность равномерно сходится к на множестве , если . Это обозначается так: на при .

Отличие этого определения от определения* сходимости последовательности в том, что неравенство при должно выполняться сразу для всех .

Равномерная сходимость функционального ряда – это равномерная сходимость последовательности его частичных сумм к сумме ряда на . Это равносильно тому, что на при , т.е. остаток на .

Приведем без доказательства критерий Коши равномерной сходимости последовательности.

Теорема. Последовательность равномерно сходится к на множестве , тогда и только тогда, когда .

Из этой теоремы сразу следует критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.

Теорема. Ряд равномерно сходится на множестве , тогда и только тогда, когда .

Из критерия Коши следуют две теоремы – необходимое условие и достаточный признак равномерной сходимости ряда.

Теорема. (Необходимое условие сходимости ряда). Ряд равномерно сходится на множестве только тогда, когда .

Действительно, полагая в критерии Коши , получим:

, т.е. .

Теорема. (Признак Вейерштрасса). Пусть выполняется неравенство и пусть числовой ряд сходится. Тогда ряд сходится на множестве абсолютно и равномерно.