Министерство образования и науки рф

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет физико-математических и естественных наук	Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»
Направление подготовки:	44.03.01 Педагогическое образование
Профиль подготовки:	Математика

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Методика обучения и воспитания (математика)»

(вариант 4)

 

 

Выполнил студент гр. 16ЗФПМ51

Осипова Раиса Владимировна

Проверил:

Кандидат педагогических наук, доцент

Марина Елена Владимировна

 

 

                                   Пенза, 2020г.

1. В 8 классе график квадратного трёхчлена используется для решения неравенств второй степени. Как организовать с учащимися поиск оптимального пути решения квадратных неравенств с помощью графиков? По результатам поисков составить алгоритмическое предписание для решения неравенств второй степени с помощью графиков.

Для решения квадратных неравенств, в школьных учебниках приводится алгоритм решения, используя который учащиеся могут самостоятельно решить упражнения.

Задача учителя – детально разобрать этот алгоритм с учащимися, рассмотреть каждый шаг, на примере показать и объяснить, как его использовать. Также учитель должен напоминать учащимся, что при использовании алгоритма нужно его запоминать и контролировать каждый выполняемый шаг. Это поможет избежать типичных ошибок.

Во время изучения темы «Квадратные неравенства» в основном используются фронтальная (при изучении нового материала), коллективная (на уроках закрепления) и индивидуальная (при проверке знаний) формы обучения.

При изучении темы «Квадратные неравенства» используются основные средства обучения, такие как, учебник, задачник, тетрадь, а также могут быть использованы дополнительные средства обучения, дидактические материалы (алгоритм решения квадратного неравенства, памятка по нахождению дискриминанта и корней квадратного уравнения, раздаточные материалы), презентация урока.

Также необходимо учитывать методические рекомендации, для лучшего усвоения темы и устранения стандартных ошибок.

Перед изучением темы «Квадратные неравенства» целесообразно вспомнить решение квадратных уравнений и график квадратичной функции, для актуализации знаний.

При изучении определения квадратных неравенств необходимо акцентировать внимание учащихся на том, что квадратное неравенство может иметь неполный вид и разобрать решения таких неравенств на примерах.

Нужно подробно рассмотреть и обобщить случаи расположения графика и оси Оx, в зависимости от знака первого коэффициента и дискриминанта. Полезно иметь в кабинете таблицы с графиками, где проиллюстрированы все возможные графики относительно оси Оx.

При решении неравенства стандартного вида, у которого первый коэффициент отрицательный рекомендуется всегда умножать обе части неравенства на -1. Это поможет избежать ошибок при вычислении корней квадратного трехчлена и при выборе промежутков по схеме графика.

Важно помнить о смене знака неравенства на противоположный, это правило изучалось ещё при решении линейных неравенств, но действует также и при решении квадратных неравенствах.

Следует объяснить учащимся, что при решении квадратных

неравенств метод интервалов не стоит использовать, если этого не сказано вусловии задачи. Гораздо важнее понять и освоить метод схематичного построения параболы, который является наглядным представлением решения неравенства.

Использование математических упражнений и задач позволяет определить уровень знаний учащихся. Упражнения и задачи должны быть расположены в порядке возрастания сложности.

Перед изучением темы «Квадратные неравенства» учитель может дать учащимся краткий тест, с помощью подготовленности учащихся к изучению новой темы. Также этот тест может служить актуализацией знаний учащихся, если сразу после тестирования

разобрать задания вместе с учениками.

Поиск способа решения является основным компонентом решения задачи. «Научить учащихся решать задачи – значить научить их осознанному поиску способа решения».

Создание проблемной ситуации:

Ответьте на вопрос: «По какой траектории движется мяч после удара по нему ракеткой?», «Графиком, какой функции является парабола?»   Итак, траекторию движения мяча, описывает квадратичная функция. - С точки зрения баллистики (баллистика - раздел механики, изучающий движение тел в поле силы тяжести Земли) переменная у в этом уравнении, показывает высоту, на которой находится тело над Землей. - Запишите фразу: «Мяч летит над землей» на математическом языке. - Что у вас получилось? - Какое неравенство называется квадратным?   - Умеете ли вы решать такие неравенства? - Каким методом? - В чем этот метод заключается? - А как вы думаете аналитический метод – это единственный метод решения квадратных неравенств?   - Почему вы так считаете?     - А какой же метод должен быть еще, по вашему мнению?

- По параболе. -Квадратичной функции. ax 2 + bx + c > 0 - Квадратное неравенство. - Если в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в правой – нуль, то такое неравенство называется квадратным. -Аналитическим, с помощью систем линейных неравенств. - При аналитическом методе решения находят корни квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства, раскладывают на множители соответствующий квадратный трехчлен, из вновь получившегося неравенства составляют системы линейных неравенств и решают их. - Если квадратный трехчлен, стоящий в левой части неравенства не имеет корней, то его не получается разложить на множители по известной формуле, а следовательно, нельзя применить аналитический способ решения. В домашней работе встретилось такое неравенство. - Графический, с помощью графика квадратичной функции, мы его уже применяли, когда учились строить квадратичную функцию вида у=ах², но мы не знали, что решаем квадратные неравенства.

Для того, чтобы научиться решать квадратные неравенства нам надо познакомиться с алгоритмом решения. Давайте на примере решения одного неравенства попробуем построить этот алгоритм.

x2 – 4x + 3 < 0

Один из учащихся решает у доски, учащиеся записывают решение в тетрадях и помогают в построении алгоритма; на основе выводов, сделанных учащимися, учитель записывает алгоритм решения на доске.

Решение

Найдем дискриминант и корни квадратного трехчлена.

D= b2 – 4ac = 16 – 4 ∙ 3 ∙ 1 = 16 – 12 = 4 > 0 ® 2 корня.

x1 = (-b +  = 6/2 = 3;

x2 = (-b -  = 2/2 = 1.      (Точки пересечения с осью абсцисс.)

Схематично построим график функции у = x2 – 4x + 3 < 0, ветви направлены вверх.

Какие промежутки нам нужны? (где у < 0) Назовите их (1; 3).

Алгоритм

1) Найти корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c.

2) Отметить найденные корни на оси ОХ и определить куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы, служащей графиком функции у = ax2 + bx + c, построить схематически график.

3) С помощью полученной геометрической модели определить, на каких промежутки, на которых функция принимает положительные (отрицательные) значения.

Давайте сравним алгоритм, который построили мы с алгоритмом в учебнике.

(Учащиеся читают алгоритм из учебника и сравнивают с алгоритмом, записанным на доске. Алгоритм из учебника можно дублировать в презентации).

2. Какие этапы содержит процесс применения координат при решении геометрических задач? Привести несколько геометрических задач, решаемых с применением декартовых координат, указать методические особенности этих решений, обратив внимание на преимущества выбранного вами метода.

Чтобы решать задачи геометрические методом координат необходимо выполнение 3-х этапов:

1) перевод задачи на координатный (аналитический) язык;

2)преобразование аналитического выражения;

3)обратный перевод, т. е. перевод с координатного языка на язык, в терминах которого сформулирована задача.

Векторно-координатный метод помогает решать планиметрические задачи через алгебру. В алгебре есть важная особенность – это единообразие способов решения задач.

У учащихся не всегда хватает сообразительности, чтобы решить задачу по геометрии обычным способом. При векторно-координатном методе необходим больше навык алгебраических вычислений, что повышает показатель успеваемости. Поэтому необходимо изучать данный метод, который возможно даст раскрыться ребенку в геометрии.

Для начала рассмотрим задачи с вычислениями в решении. Чтобы решить задачу такого вида необходимо правильно выбрать систему координат, от этого зависит весь ход решения. Необязательно, чтобы прямоугольная система координат располагалась по основанию и/или стороне фигуры. Это может быть внутренние линии фигуры, которые создают при пересечении перпендикуляр.

Алгоритм решения векторно-координатным методом следующий:

а) определяем систему координат на данной нам фигуре;

б) находим точки координат, которые помогут нам в решении;

в) анализируем и применяем все возможные теоремы, следствия, формулы.

Задача 1. Диагонали выпуклого четырехугольника  пересекаются в точке  под прямым углом так, что , , . Стороны  и  при продолжении пересекаются в точке . Найти угол .

Дано:  выпуклый четырехугольник,

,

.

Найти:

Решение:

Сразу проведем координатные оси вдоль диагоналей, т.к. по условию задачи мы знаем, что они перпендикулярны. Тогда ось  проведем по стороне , а ось  по стороне .

Рассмотрим треугольник . В нем нам известно, что  и . Из этого следует, что  равнобедренный и значит у него .

Так же мы имеем пару смежных углов: , ,  и , , . Будем находить их по порядку.

Найдем всевозможные точки в системе координат:

, , , ,

Находить необходимые нам углы будем через следующую формулу:

 рассмотрим как угол между двумя векторами . Найдем координаты векторов и их длины. Тогда получим:

, мы также знаем, что , значит получим:

Аналогично найдем угол .

, мы также знаем, что , значит получим:

Следовательно

Ответ: .

Задача 2. Две стороны треугольника равны 17 и 28, а высота, проведенная к большей из них равна 15. Найдите медианы треугольника.

Дано:

 – треугольник

 – высота,

 

 

Найти:  – медианы треугольника.

 

 

Решение.

Вводим систему координат. Расположим ось  на стороне , а ось  на стороне .

Нам известны координаты точки . Так же нам известна сторона , следовательно мы можем определить координаты точки  по оси  по формуле:

Таким образом точка  имеет координаты .

Нам известно, что , следовательно

Тогда точка  имеет координаты . Так как по свойствам медиана делит сторону пополам, мы можем найти точки  по формуле:

Получим:

 середина отрезка

тогда .

 середина отрезка

тогда .

 середина отрезка

тогда .

Точки медиан получены. Осталось вычислить длины векторов: .

Ответ: .

Задача 3. Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Решение.

Пусть  – данная трапеция,  и  – середины оснований  и , а  – точка пересечения прямых  и .

Докажем, что точка  лежит на прямой .

Рассмотрим два треугольника  и . В них , . Следовательно, треугольники  и  подобны по первому признаку подобия треугольников.

Поэтому, . Так как,  и , то

 (1).

Точка  середина отрезка , поэтому . Аналогично .

Подставив в последнее равенство выражения (1) для  и , получим .

Отсюда следует, что векторы  и  коллинеарны, а значит точка  лежит на прямой . Что и требовалось доказать.

Задача 4. Дан произвольный треугольник . Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам .

Решение.

Пусть , ,  – медианы треугольника . Тогда

Сложив все равенства получим:

Отсюда следует, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника . Что и требовалось доказать.

Задача 5. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям.

Решение.

Пусть  и  – середины диагоналей трапеции . Покажем, что . Для этого достаточно показать, что  коллинеарен .

Так как  и  – середины отрезков  и , то

Следовательно,

Но  коллинеарен вектору , поэтому ,  – вещественное число. Тогда

Т.е.  коллинеарен , что и требовалось доказать.

Многие ученики страдают тем, что знают теоремы, но не знают, как применить их на практике решения задач. Векторно-координатный метод помогает думать по-другому.

Мы смотрим не просто на треугольники, параллелограммы, трапеции, а как на треугольники, параллелограммы, трапеции, построенные из точек и векторов на системе координат. Это помогает размышлять над задачей и искать всевозможные пути решения.

В школах всё изучение ведется по принципу от простого к сложному. Поэтому данный метод решения планиметрических задач дает нам научить детей технологии метода. В двумерном пространстве всегда легче учиться азам, чтобы затем переходит к трехмерному пространству.

Умение применять координатно-векторный метод уже в трехмерном пространстве поможет ученикам при сдаче ЕГЭ в части С. Но перед этим необходимо овладеть в совершенстве данным методом, посредством решения многих задач геометрии.

3. Составить индивидуальные карточки – таблицы доказательства теоремы о свойстве вертикальных углов с пропусками. Где и когда целесообразно использовать такие карточки.

Утверждение	Обоснование
∠AOC + ∠AOD=180°	∠AOC и ∠AOD – смежные
∠AOD + ∠DOB=180°	∠AOD и ∠DOB – смежные
∠AOC=∠DOB	∠AOC + ∠AOD=∠AOD + ∠DOB
Вертикальные углы равны (ОБРАЗЕЦ)

 

Утверждение	Обоснование
∠AOC + ∠AOD=____	∠____ и ∠AOD – смежные
∠AOD + ∠_____=180°	∠AOD и ∠______ – смежные
∠AOC_____∠DOB	∠AOC + ∠AOD=∠AOD + ∠DOB

 

Утверждение	Обоснование
∠AOC + ∠AOD=180°	∠AOC и ∠AOD – ________
∠AOD + ∠DOB=180°	∠____ и ∠DOB – ________
∠AOC=∠DOB	∠AOC + ∠_____=∠_____ + ∠DOB

 

Утверждение	Обоснование
∠_____ + ∠_____=180°	∠AOC и ∠AOD – смежные
∠_____ + ∠_____=180°	∠AOD и ∠DOB – смежные
∠____ =∠_____	∠AOC + ∠AOD=∠AOD + ∠DOB

Применение карточек-заданий, как и других средств обучения, я рассматриваю не как самоцель, а как средство конкретизации и развития понятий, а также приобретения умений самостоятельно добывать знания и использовать их в новой ситуации – для доказательств и обобщений.

Табличная форма заданий требует конкретного и краткого ответа, что приучает учащихся вычленять главное в фактическом материале.

Такие карточки можно применить в различных звеньях урока:

Ø при актуализации знаний;

Ø по ходу объяснения нового материала, если изучение наиболее трудных вопросов требует выполнения дополнительных заданий (заполнение таблиц, изображение схем) или тренировки в узнавании или запоминании (работа с рисунками);

Ø при самостоятельном изучении нового материала по учебнику;

Ø для закрепления и обобщения знаний, полученных на уроке.

 

Список использованной литературы:

1) Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. – 12-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2010. –215с.: ил.

2) Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. – 12-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2010. – 271 с.: ил.

3) Л.С. Геометрия 7-9 классы./ Атанасян Л.С., В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Поздняк, И.И. Юдина – М.: Просвещение, 2018 – 384 с.

4) Гусев В.А. Практикум по элементарной математике. Геометрия./ Гусев В.А., Литвиенко В.Н., А.Г. Мордкович – М.: Просвещение, 1992 – 352 с.

5) Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии: 9 класс: к учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» / Т. М. Мищенко. – М.: Издательство «Экзамен», 2017 – 142 с.