Комбинированный метод

Сущность комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в том, что на некоторых этапах построения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проектирования, а на других этапах построения этого же сечения используются изученные теоремы о параллельности, перпендикулярности прямых и плоскостей. При этом дополнительно используются свойства данного многогранника.

Задача. Построить сечение параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ плоскостью α, заданной точками Р, Q и R, если точка Р лежит на диагонали А₁C₁, точка Q - на ребре ВВ₁ и точка R - на ребре DD₁.

Решение.

а) Решим эту задачу с применением метода следов и теорем о параллельности прямых и плоскостей.

Построим след секущей плоскости α = (РQR) на плоскости (АВС).  Для этого строим точки Т₁ = РQ ∩ Р₁В, где PP₁║AA₁, P₁ є AC, и T₂ = RQ ∩ ВD. Построив след Т₁Т₂, замечаем, что точка Р лежит в плоскости (А₁B₁C₁), которая параллельна плоскости (АВС). Это означает, что плоскость α пересекает плоскость (А₁B₁C₁) по прямой, проходящей через точку Р и параллельной прямой Т₁Т₂. Проведем эту прямую и обозначим через М и Е точки ее пересечения с ребрами соответственно А₁B₁ и А₁D₁. Получаем: М = α ∩ А₁B₁, Е =α∩ А₁D₁. Тогда отрезки ЕR и QМ являются сторонами искомого сечения.

Далее, так как плоскость (ВСС₁) параллельна плоскости грани ADD₁A₁, то плоскость α пересекает грань ВСC₁B₁ по от резку QF (F= α ∩ СС₁), параллельному прямой ЕR. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. Точку F можно получить, проведя RF║ MQ.

 

б) Решим эту задачу, применяя метод внутреннего проектирования и теоремы о параллельности прямых и плоскостей.

Пусть Н=АС ∩ ВD. Проведя прямую НН₁ параллельно ребру ВВ₁ (Н₁ є RQ), построим точку F: F=РН₁ ∩ CC₁.Tочка F является точкой пересечения плоскости α с ребром СС₁, так как РН₁ є α. Тогда отрезки RF и QF, по которым плоскость α пересекает соответственно грани CС₁D₁D и ВСС₁В₁ данного параллелепипеда, являются сторонами его искомого сечения.

Так как плоскость (АВВ₁) параллельна плоскости (CDD₁), то пересечением плоскости α и грани АВВ₁А₁ является отрезок QМ (М є А₁В₁), параллельный отрезку FR; отрезок QМ - сторона сечения. Далее, точка Е = МР ∩ А₁D₁ является точкой пересечения плоскости α и ребра А₁D₁, так как МР є α. Поэтому точка Е - еще одна вершина искомого сечения. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. Точку Е можно построить, проведя прямую RЕ ║ FQ. Тогда М = РЕ ∩ А₁B₁.

Выбор метода для наиболее простого решения задачи на по­строение сечений зависит от свойств данного многогранника и положения точек, определяющих секущую плоскость.

 

Заключение

Мною были изготовлены модели сечений на примере куба,  изучены новые для меня методы построения сечений (метод следов, метод внутреннего проектирования, комбинированный метод), решены несколько задач с использованием данных методов. В процессе работы я познакомилась с рядом новых источников методической и научной литературы, систематизировала и углубила знания о построении сечений многогранников. При первоначальном ознакомление учащихся 10 классов с методами построения сечений мой руководитель на уроке использовал модели, сконструированные мною, сопровождая построения на изображе­нии демонстрацией соответствующих отношений на мо­дели.  Это способствовало укреплению связи изображения и оригинала. Т.к. известно, что решение стереометрической задачи на первом этапе – это её представление в пространстве, на втором – оптимальное изображение пространственной фигуры на плоскости. И насколько верно будут выполнены задачи первых двух этапов, настолько быстро и правильно будет решена задача. Показать правильный чертеж к задаче - почти все равно, что сразу объяснить ее решение, при этом формируется пространственное воображение, а так же умение, вообще, «видеть» чертеж.

Поставленные задачи были выполнены частично.  Во время выполнения проекта я и мой руководитель планировали проведение урока для моих одноклассников по теме «Построение сечений методом следов». Данный урок планировался на апрель месяц, однако из-за карантинных условий я не смогла этого сделать. Но данный материал я разместила в сети интернет, также мой руководитель планирует использовать его при работе в дистанционной форме.  Известно, что приложения на построение сечений геометрических фигур, их развёрток позволяет достаточно быстро выполнять пространственные чертежи. Причем, используя эти чертежи, можно проверить правильность решения, взглянув на конструкцию с разных сторон. Поэтому я хотела бы летом самостоятельно освоить некоторые приложения, позволяющие строить пространственные чертежи.  

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.

2. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.

3. Потоскуев Е.В.: ЕГЭ 2018. 100 баллов. Профильный уровень. Опорные задачи по геометрии. Планиметрии. Стереометрии. – М.: УЧПЕДГИЗ, 2018. – 223с.

4. Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия: пособ. для подготовки к ЕГЭ / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2009. — 272 с.

5. http://reshuege.ru/test?theme=230

6. http://5klass.net

7. http://www.mathprofi.ru/poverhnosti.html

8. http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-058*page.htm