Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

1) Уравнение вида . Решение этого уравнения  находится n -кратным интегрированием. При этом последовательно получаем

,

,

 

и т.д. до функции .

2) Уравнение вида . Уравнение не содержит искомой функции (а также производных до k -го порядка), поэтому в результате замены  может быть приведено к уравнению -го порядка .

В частности, уравнение второго порядка  после замены  приводится к уравнению первого порядка .

3) Уравнение вида . Это уравнение не содержит переменной x. Порядок понижается в результате замены

, ,…. В частности, уравнение второго порядка  в результате замены ,  приводится к уравнению первого порядка .

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка имеют вид

.

Общее решение такого уравнения

,

где  – линейно независимые частные решения дифференциального уравнения, а  – произвольные постоянные.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными действительными коэффициентами

.

Чтобы найти линейно независимые частные решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение

.

Это алгебраическое уравнение n -ой степени и имеет n корней. Среди них могут быть действительные (в том числе и равные) и комплексные. Так как уравнение имеет действительные коэффициенты, комплексные корни являются комплексно сопряженными, то есть будут появляться парой  и иметь одинаковую кратность.

Вид частного решения дифференциального уравнения будет зависеть от решений характеристического уравнения следующим образом:

· каждому действительному корню r единичной кратности соответствует частное решение ;

· каждому действительному корню r кратности s соответствует s частных решений

;

· каждой паре комплексно сопряженных корней  единичной кратности соответствуют два частных решения

, ;

· каждой паре комплексно сопряженных корней  кратности s (каждый) соответствуют частные решения

, , , ,…, , .

Все перечисленные частные решения линейно независимы, поэтому выступают в качестве  в общем решении

.

Рассмотрим, например, линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными действительными коэффициентами

.

Его характеристическое уравнение имеет вид

.

В зависимости от корней этого квадратного уравнения запишем общее решение дифференциального уравнения:

1) , если корни   и   действительны и различны (дискриминант , );

2) , если корни   и   действительные и равные (,  – корень кратности 2);

3) , если корни   и   комплексные (, , где i – мнимая единица, такая, что ).

 

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка имеют вид

.

 

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения представимо в виде

,

где  – какое-либо частное решение этого уравнения, а  – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

.

 

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными действительными коэффициентами

.

В этом случае частное решение  можно подобрать по виду правой части   следующим образом.

Пусть , где  – многочлен степени  (). Тогда  будет иметь вид

 

где S – показатель кратности корня  в характеристическом уравнении (если  не является корнем характеристического уравнения, ),  – многочлен степени  (с другими, вообще говоря, коэффициентами, чем ).

Если же  то  следует искать в виде

где  – показатель кратности каждого из корней  в характеристическом уравнении (если  не являются корнями характеристического уравнения, ).

Способ нахождения общего решения  соответствующего однородного уравнения описан выше.

 

Пример 1. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условиям: , .

Решение. Дифференциальное уравнение вида

относится к уравнениям, допускающим понижение порядка. Оно решается n -кратным последовательным интегрированием:

,

 и т.д.

В данном случае , поэтомуинтегрируем два раза. При этом получим 

.

Найдем константу , используя начальное условие :

,   .

Значит, . Интегрируем это равенство:

.

Найдем константу , используя начальное условие :

, , .

Итак, частное решение дифференциального уравнения имеет вид

.

 

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Уравнение не содержит искомой функции y, значит порядок уравнения можно понизить с помощью замены

, .

Получим уравнение

.

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяем переменные

, ,

уравнение интегрируем

,   ,

,       .

Возвращаясь к y, получаем

,    .

И это уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем его:

,

,

,

получаем общее решение

.

 

Пример 3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условиям: , .

Решение. Это уравнение не содержит переменной x, поэтому можно понизить порядок уравнения, если сделать замену

,     .

Уравнение преобразуется к виду

,       .

То есть получено уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяем переменные

и интегрируем

,  .

Возвращаемся к y

и, используя начальные условия, находим :

,   ,    .

Итак,

,     .

Это также дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получаем

,

,

.

Находим , используя начальные условия,

, , , .

Таким образом, получаем

, ,

откуда (с учетом начальных условий) находим частное решение дифференциального уравнения

.

 

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения 

.

Решение. Это дифференциальное уравнение относится к линейным однородным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами

.

Этому уравнению соответствует характеристическое уравнение

,

от корней  и  которого зависит вид общего решения исходного дифференциального уравнения.

В рассматриваемом случае получаем характеристическое уравнение

.

Его корни  и   действительны и различны. Известно, что в этом случае общее решение имеет вид

,

то есть

.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения 

.

Решение. Это дифференциальное уравнение относится к линейным однородным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами вида

и решается с помощью характеристического уравнения

,

от корней и  которого зависит вид общего решения исходного дифференциального уравнения.

Составляем характеристическое уравнение

.

И находим его корни:

.

Известно, что если корни действительны и равны (), общее решение имеет вид

,

то есть в данном случае получаем

.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным однородным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами вида

и решается с помощью характеристического уравнения

,

от корней и  которого зависит вид общего решения исходного дифференциального уравнения.

 

Составляем характеристическое уравнение

.

Дискриминант этого уравнения отрицательный

.

Это означает, что уравнение имеет комплексные корни

,

где i – мнимая единица, такая, что .

Известно, что в случае комплексных корней  общее решение дифференциального уравнения имеет вид

.

Поскольку , , получаем общее решение

.

 

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения 

.

Решение. Это линейное однородное дифференциальное уравнение 5 порядка с постоянными коэффициентами.

Составим и решим характеристическое уравнение:

, .

Корни уравнения:

.

Корням  соответствуют частные решения

.

Комплексным корням  соответствуют решения

,

.

Так как все эти решения линейно независимы, общее решение дифференциального уравнения есть

где  – произвольные постоянные.

 

Пример 8. Указать вид частного решения дифференциального уравнения , если

1) ;    2) ;    3) .

Решение. Для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами частное решение  можно подобрать по виду правой части . При этом сначала решают характеристическое уравнение

, .

Его корни:

, .

Частное решение  подбирается следующим образом.

Рассмотрим случай 1) .

Здесь правая часть имеет вид , где  – многочлен степени m (). В этом случае частное решение

где S –показатель кратности корня  в характеристическом уравнении (если  не является корнем характеристического уравнения, ),  – многочлен степени т (с другими, вообще говоря, коэффициентами, чем ).

В данном случае , . Так как  не является корнем характеристического уравнения, частное решение имеет вид

.

В случае 2) , то есть правая часть снова имеет вид , причем , . В данном случае  является корнем характеристического уравнения кратности 2, поэтому частное решение

.

Рассмотрим случай 3) .

Здесь правая часть представима в виде 

.

Действительно,

.

Значит,  следует искать в виде

где   S – показатель кратности корней  в характеристическом уравнении (если  не являются корнями характеристического уравнения, ).

Так как , , то . Далее, , , значит, . Поскольку значения  совпадают с корнями характеристического уравнения, имеющими кратность, равную единице, частное решение определяется формулой

.

 

Рекомендуемая к § 9 литература – см. библ. список [1, 3, 7, 9, 10, 15, 18, 19, 20, 22, 23].

 

В задачах 730 – 740 решить задачу Коши и найти решение дифференциального уравнения в точке .

 

730.	.	Ответ.
731.	.	Ответ.
732.	.	Ответ.
733.	.	Ответ.
734.	.	Ответ.
735.	.	Ответ.
736.	.	Ответ.
737.	.	Ответ.
738.	.	Ответ.
739.	.	Ответ.
740.	.	Ответ.

 

В задачах 741 – 744 решить задачу Коши и найти решение дифференциального уравнения в точке .

 

741.	, .	Ответ.
742.	, .	Ответ.
743.	, .	Ответ.
744.	, .	Ответ.

 

В задачах 745 – 762 найти общие решения дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

 

745.	.	Ответ.
746.	.	Ответ.
747.	.	Ответ.
748.	.	Ответ.
749.	.	Ответ.
750.	.	Ответ.
751.	.	Ответ.
752.	.	Ответ.
753.	.	Ответ.
754.	.	Ответ.
755.	.	Ответ.
756.	.	Ответ.
757.	.	Ответ.
758.	.	Ответ.
759.	.	Ответ.
760.	.	Ответ.
761.	.	Ответ.
762.	.	Ответ.

 

В задачах 763 – 804 найти общие решения линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

 

763.	.	Ответ.
764.	.	Ответ.
765.	.	Ответ.
766.	.	Ответ.
767.	.	Ответ.
768.	.	Ответ.
769.	.	Ответ.
770.	.	Ответ.
771.	.	Ответ.
772.	.	Ответ.
773.	.	Ответ.
774.	.	Ответ.
775.	.	Ответ.
776.	.	Ответ.
777.	.	Ответ.
778.	.	Ответ.
779.	.	Ответ.
780.	.	Ответ.
781.	.	Ответ.
782.	.	Ответ.
783.	.	Ответ.
784.	.	Ответ.
785.	.	Ответ.
786.	.	Ответ.
787.	.	Ответ.
788.	.	Ответ.
789.	.	Ответ.
790.	.	Ответ.
791.	.	Ответ.
792.	.	Ответ.
793.	.	Ответ.
794.	.	Ответ.
795.	.	Ответ.
796.	.	Ответ.
797.	.	Ответ.
798.	.	Ответ.
799.	.	Ответ.
800.	.	Ответ.
801.	.	Ответ.
802.	.	Ответ.
803.	.	Ответ.
804.	.	Ответ.

 

В задачах 805 – 835 указать вид частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

 

805.	.	Ответ.
806.	.	Ответ.
807.	.	Ответ.
808.	.	Ответ.
809.	.	Ответ.
810.	.	Ответ.
811.	.	Ответ.
812.	.	Ответ.
813.	.	Ответ.
814.	.	Ответ.
815.	.	Ответ.
816.	.	Ответ.
817.	.	Ответ.
818.	.	Ответ.
819.	.	Ответ.
820.	.	Ответ.
821.	.	Ответ.
822.	.	Ответ.
823.	.	Ответ.
824.	.	Ответ.
825.	.	Ответ.
826.	.	Ответ.
827.	.	Ответ.
828.	.	Ответ.
829.	.	Ответ.
830.	. Ответ.
831.	. Ответ.
832.	. Ответ.
833.	.    Ответ.
834.	. Ответ.
835.	. Ответ.

 

 

заключение

Данное учебное пособие содержит необходимые теоретические сведения и включает в себя значительное количество задач с решениями по всем рассматриваемым разделам курса высшей математики технического университета. Поэтому может быть использовано при проведении практических занятий, а также при подготовке студентов к контролирующим мероприятиям.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособ. для втузов. «Профессия», 2007. 432 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том 2. Дифференциальное и интегральное исчисление. «Дрофа». 2007. 512 с.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. «Дрофа». 2005. 512 с.

4. Вычисление двойных интегралов в декартовых и полярных координатах. Методические указания к занятию № 8 по высшей математике / Н.В. Бейлина. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2009. 18 с.

5. Вычисление криволинейных интегралов. Методические указания к занятию № 10 по высшей математике / Н.В. Бейлина. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2009. 20 с.

6. Вычисление тройных интегралов в декартовых, цилиндрических, сферических координатах. Практич. занятие № 9 / Н.В. Бейлина, О.С. Самойлова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2007. 20 с.

7. Голубева Н.Д., Лернер М.Е. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ч.1: Учеб. пособ. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2005. 80 с.

8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособ. для втузов: В 2 ч. Ч. Ι. 6–е изд.– М.: ОНИКС: Мир и Образование, 2006. 304 с.

9. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособ. для втузов: В 2 ч. Ч. ΙΙ. 6–е изд. – М.: ОНИКС: Мир и Образование, 2006. 416 с.

10. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Практич. занятие № 24 / В.В. Щербакова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2007. 20 с.

11. Дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли. Практич. занятие № 22 / Н.Н. Стрелкова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2007. 22 с.

12. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения в полных дифференциалах. Практич. занятие № 23 / Н.Н. Стрелкова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2007. 18 с.

13. Евдоким