Числовые характеристики исходных данных

На этом простом примере видна огромная роль информации и ее предварительной обработки. Была произведена предварительная обработка информации в удобный вид, на очереди выявление числовых характеристик массива исходных данных.

1) Размах измерения – важнейшая из характеристик, разность между максимальной и минимальной вариантами. В нашем примере: 120 – 10 = 110 минут.

2) Мода измерения – варианта измерения, которая в измерении встретилась чаще других, то есть у которой наибольшая кратность. Моду легко получить из таблиц или графика распределения. В нашем примере: 50 минут, так как ее кратность (10) наибольшая.

3 ) Среднее (среднее арифметическое числового ряда). Средним арифметическим массива из чисел называют число . Отсюда ясно, что для нахождения среднего значения следует просуммировать все данные измерения и полученное число разделить на количество измерений. В нашем примере: варианта 1 встречалась 3 раза, 2 – 6 раз, 3 – 8 раз, 4 – 7 раз, 5 – 10 раз, 6 – 8 раз, 8 – 2 раза, 9 – 3 раза, 10 – 2 раза, 12 – 1 раз, значит, среднее значение вычисляется следующим образом: (десятков минут) (минут). Получается, в среднем, каждый ученик тратит на дорогу 48 минут.

Мы рассмотрели три числовые характеристики: размах, мода, среднее. В целом они все же дают некоторое представление о массиве исходных данных, это упрощенный паспорт исходных данных.

Итак, было выяснено:

1) Необходима предварительная обработка исходных данных – группировка, представление в виде таблиц, представление в виде графиков распределений.

Необходимо нахождение основных числовых характеристик исходного массива данных – размах измерений, мода, среднее.

Решение задач

Задача на понятие «общий ряд данных».

Выписать общий ряд данных следующего измерения: месяц рождения учеников данного класса.

Решение

Присвоим каждому месяцу порядковые номера, начиная с единицы: январь – 1, февраль – 2, март – 3, апрель – 4, май – 5, июнь – 6, июль – 7, август – 8, сентябрь – 9, октябрь – 10, ноябрь – 11, декабрь – 12.

Тогда получим ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Примечание: этот ряд содержит все возможные результаты измерения, но возможно нет родившихся в некоторых месяцах.

Задача на понятие «варианта измерения».

Назовите варианты измерения, если не оказалось родившихся в январе, феврале, мае, ноябре, декабре.

Решение

Присвоив каждому месяцу те же порядковые номера, получим: март – 3, апрель – 4, июнь – 6, июль – 7, август – 8, сентябрь – 9, октябрь – 10.

Ответ: 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10.

Задача на понятие «ряд данных измерения».

Определить ряд данных измерения: март, апрель, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь.

Решение

Присвоив каждому месяцу те же порядковые номера, получим: март – 3, апрель – 4, июнь – 6, июль – 7, август – 8, сентябрь – 9, октябрь – 10.

Ответ: 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10.

Задача на понятия «кратность варианты», «табличное представление информации».

Составьте таблицу распределения данных, если в июне и июле родилось по пять человек, а в марте, апреле, августе, сентябре, октябре родилось по два человека.

Решение

Присвоив каждому месяцу те же порядковые номера, получим: март – 3, апрель – 4, июнь – 6, июль – 7, август – 8, сентябрь – 9, октябрь – 10.

Ответом является таблица, где вариантами выступают номера месяцев.

	Варианта							Сумма
	3	4	6	7	8	9	10
Кратность	2	2	5	5	2	2	2	20
Частота	0,1	0,1	0,25	0,25	0,1	0,1	0,1	1
Частота,%	10	10	25	25	10	10	10	100

Рассмотрим типовую задачу. Даны оценки (от 0 до 10 баллов) 40 учеников на олимпиаде.

6	7	7	8	9	2	10	6	5	6
7	3	7	9	9	2	3	2	6	6
6	7	8	8	2	6	7	9	7	5
9	8	2	6	6	3	7	7	6	6

Выполнить предварительную обработку данных – выявить варианты измерения, составить ряд данных, составить таблицу и график распределения данных. Найти числовые характеристики исходных данных.

Решение

Ряд данных: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Объем данных: 40.

Соберем все варианты и их кратности в таблицу распределения данных, где вариантами выступают баллы учеников.

	Варианта								Сумма
	2	3	5	6	7	8	9	10
Кратность	5	3	2	11	9	4	5	1	40
Частота	0,125	0,075	0,05	0,275	0,225	0,1	0,125	0,025	1
Частота,%	12,5	7,5	5	27,5	22,5	10	12,5	2,5	100

Приведем пример получения табличных данных на примере варианты 2 балла.

Кратность равна 5, частота равна , частота в процентах равна .

Построим график распределения данных ( – варианты, – частота) (рис. 4).

Рис. 4. График распределения вариант по частоте для типовой задачи

Вычисляем числовые характеристики:

1) Размах измерения: .

2) Мода: 6, так как оценка встретилась 11 раз, что является максимумом.

3) Средняя оценка на экзамене: .

Выводы

На данном уроке мы ознакомились с основными понятиями математической статистики и научились решать простые задачи по математической статистике.