2020-06-08
89
23.04.2020
Тема занятия «Понятие определенного интеграла, его геометрический и физический смысл»
План занятия
Законспектировать теоретический материал
Понятие определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная неотрицательная функция y = f (x). Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f (x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).
Определенный интеграл от неотрицательной функции y = f (x) с геометрической точки зрения равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), слева и справа – отрезками прямых x = a и x = b, снизу – отрезком оси Ох.
Основные свойства определенного интеграла
1.Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
|
|
|
4.Если функция y = f (x) интегрируема на [ a, b ] и a < b < c, то
5. (теорема о среднем). Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то на этом отрезке существует точка, такая, что
Формула Ньютона–Лейбница
Теорема 2. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и F (x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:
которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность F (b) - F (a) принято записывать следующим образом:
где символ 
называется знаком двойной подстановки.
Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
Пример 1. Вычислить интеграл
Решение. Для подынтегральной функции f (x) = x 2 произвольная первообразная имеет вид
Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления интеграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид:
Тогда
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 3. Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ]. Если:
1) функция x = φ(t) и ее производная φ'(t) непрерывны при 
;
2) множеством значений функции x = φ(t) при является отрезок [ a, b ];
3) φ(a) = a, φ(b) = b, то справедлива формула
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
В отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования α и β (для этого надо решить относительно переменной t уравнения φ(t) = a и φ(t) = b).
|
|
|
Вместо подстановки x = φ(t) можно использовать подстановку t = g (x). В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: α = g (a), β = g (b).
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение. Введем новую переменную по формуле 
. Возведя в квадрат обе части равенства , получим 1 + x = t 2, откуда x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)' dt = 2 tdt. Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы x = 3 и x = 8. Получим: 
, откуда t = 2 и α = 2;, откуда t = 3 и β = 3. Итак,
