Метод введения новой переменной

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 1

Пусть , тогда исходное уравнение примет вид:

, корни которого у =6 и у = –7. Но должно быть неотрицательным. Значит, нас интересует только корень у=6.

Решая уравнение , получаем х = 3 и х = –4,5.

В следующем примере используется более сложная замена переменной.

Пример 2

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования: .

Замена приводит уравнение к виду , корнями которого являются и у=1.

Осталось решить совокупность двух уравнений:

Тема 27. Свойства числовых неравенств

Сложение и вычитание обеих частей неравенства с одним и тем же числом. Сложение двух неравенств

Для начала вспомним основное определение. Как сравнивают любые два числа. Число a больше числа b, если разность (a – b) – положительное число; число а меньше числа b, если разность (a – b) – отрицательное число; число а равно числу b, если разность (a – b) – равна нулю.

Основные свойства числовых неравенств:

Если a<b, то b>a; если a>b, то b<a.

Если a<b и b<c, то a<c.

Если a<b и с – любое число, то a+c<b+c.

Если a<b и c<d, то a+c<b+d.

Примеры: 1) 3>2,5 2) 1,2<1,3

5>4 – 3< – 2

8>6,5 – 1,8< – 0,7 Все неравенства можно определить как строги и нестрогие. Строгие это те, которые содержат знак > или <. Нестрогие это те, в которых для сравнения выражений используются знаки ≤ или ≥.

Умножение и деление неравенства на положительное или отрицательное число

Для умножения и деления неравенств пользуются следующими свойствами.

Если a<b и с – положительное число, то ac<bc; если a<b и с – отрицательное число, то ac>bc.

Если а и b – положительные числа и a<b, то