Оценка однородности выборочных дисперсий по критерию Фишера

При проведении параллельных опытов необходимо определить являются ли результаты измерений в первом, втором и третьем эксперименте статистически одинаковыми (т.е. принадлежат ли эти все измерения одной генеральной совокупности, а именно имеют одни и те же генеральные параметры).

Допустим, что первый эксперимент характеризуется генеральным значением, второй, а третий.

Выдвигается нулевая гипотеза Н₀: полагается, что две выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, т.е. у них одно и то же значение генеральной дисперсии

Н₀: =

А выборочные дисперсии - это случайные оценки этой дисперсии;

>,

поэтому выдвигается альтернативная гипотеза

Н₁:.

Задаемся уровнем ошибки первого рода а = 0,05.

Для проверки такой нулевой гипотезы используется статистика Фишера F, которая зависит от а и двух некоторых показателей степеней свободы f₁ и f₂. Причём всегда F(б,f₁,f₂) > 1.

Проверить нулевую гипотезу, означает найти одну границу. Для этого надо найти расчётное значение F и посмотреть в какую область попадём.

F_расч=;

причём f₁ - число степеней свободы числителя, а f₂ - число степеней свободы знаменателя.

F_расч=

По таблице нахожу критическое значение

= 161,4

Получаю, что

F_расч <

т.е. значения попадают в область нулевой гипотезы Н₀ с вероятностью ошибки 5%.

Это означает, что выборочные дисперсии для двух параллельных опытов статистически однородны, а экспериментальные данные принадлежат одной совокупности. Тогда для этих моделей из каждого эксперимента мы берём по одному опыту, а остальные убираем

Проверим нулевую гипотезу, для второго параллельного опыта. Для этого надо найти расчётное значение F и посмотреть в какую область попадём.

F_расч=;

F_расч=

По таблице нахожу критическое значение

= 161,4

Получаю, что

F_расч <

т.е. значения попадают в область нулевой гипотезы Н₀ с вероятностью ошибки 5%.

Это означает, что выборочные дисперсии для двух параллельных опытов статистически однородны, а экспериментальные данные принадлежат одной совокупности. Тогда для этих моделей из каждого эксперимента мы берём по одному опыту, а остальные убираем

Проверим нулевую гипотезу, для третьего параллельного опыта. Для этого надо найти расчётное значение F и посмотреть в какую область попадём.

F_расч=;

F_расч=

Это означает, что выборочные дисперсии для двух параллельных опытов статистически однородны, а экспериментальные данные принадлежат одной совокупности. Тогда для этих моделей из каждого эксперимента мы берём по одному опыту, а остальные убираем

Т.к. данные параллельных опытов статистически однородны, то рассчитываю общую оценку экспериментальных данных в виде дисперсии воспроизводимости.

21. Ковариация против корреляции

Ковариация и корреляция - это две концепции в области вероятности и статистики. Обе концепции описывают взаимосвязь между двумя переменными. Кроме того, оба являются инструментами измерения определенной зависимости между переменными.

«Ковариация» определяется как «ожидаемое значение вариаций двух случайных вариаций от их ожидаемых значений», а «корреляция» - «ожидаемое значение двух случайных вариаций». Чтобы упростить, ковариация пытается изучить и измерить, как переменные изменяются вместе. В этой концепции обе переменные могут меняться одинаково, не указывая никаких отношений. Ковариация - это измерение силы или слабости корреляции между двумя или более наборами случайных величин, в то время как корреляция служит масштабированной версией ковариации.

И ковариация, и корреляция имеют отличительные типы. Ковариацию можно классифицировать как положительную ковариацию (две переменные имеют тенденцию меняться вместе) и отрицательная ковариация (одна переменная выше или ниже ожидаемого значения по сравнению с другой переменной). С другой стороны, корреляция имеет три категории: положительную, отрицательную или нулевую. Положительная корреляция обозначается знаком «плюс», отрицательной корреляцией отрицательным знаком и некоррелированными переменными - «0».

Ковариация и корреляция имеют диапазоны. Значения корреляции находятся в масштабе от -1 до +1. В терминах ковариации значения могут превышать или могут быть вне диапазона корреляции. Кроме того, значения корреляции зависят от единиц измерения «X» и «Y». Другим заметным отличием является то, что корреляция безразмерна. Напротив, ковариация описывается в единицах, образованных путем умножения единицы одной переменной на другую единицу другой переменной. Ковариация фокусируется на взаимосвязи между двумя объектами, такими как переменные или наборы данных. Напротив, корреляция может включать в себя две или более переменных или наборов данных и отношения между ними.

Другим заметным различием между ними является то, что ковариация часто находится в тандеме с дисперсией (одним из ее свойств, но также и общей мерой рассеяния или дисперсии), тогда как корреляция идет вместе с анализом зависимости и регрессии. «Зависимость» определяется как «любая связь между двумя наборами данных или случайными величинами», в то время как регрессионный анализ - это метод, используемый для исследования взаимосвязи между независимыми и зависимыми переменными. Другие классификации корреляции являются частичными и множественными корреляциями.

Резюме:

1. Ковариация и корреляция - это два понятия при изучении статистики и вероятности. Они различны в своих определениях, но тесно связаны между собой. Обе концепции описывают взаимосвязь и измеряют вид зависимости между двумя или более переменными. 2. Ковариация - ожидаемое значение вариации между двумя случайными вариациями от их ожидаемых значений, тогда как корреляция имеет почти одно и то же определение, но она не включает вариации. 3. Ковариация также является мерой двух случайных величин, которые изменяются вместе. Между тем, корреляция связана с взаимозависимостью или ассоциацией. Проще говоря, корреляция заключается в том, насколько далеко или как близко две переменные от независимы друг от друга. 4. Ковариация является мерой корреляции, а корреляция - масштабированной версией ковариации. 5. Ковариация может включать взаимосвязь между двумя переменными или наборами данных, в то время как корреляция может включать взаимосвязь между несколькими переменными. 6. Корреляционные значения варьируются от положительного 1 до отрицательного 1. С другой стороны, значения ковариации могут превышать этот масштаб. 7. Взаимная корреляция и ковариация используют положительное или отрицательное описание их типов. Ковариация имеет два типа - положительную ковариацию (где две переменные меняются вместе) и отрицательная ковариация (где одна переменная выше или ниже другой). В терминах корреляции положительные и отрицательные корреляции объединяются дополнительной категорией «0» - некоррелированным типом.

21. Пример расчёта коэф. кор.

D-оптимальные планы